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平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.

1．利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形

例1 、如圖1，已知點O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，四邊形OCDE是平行四邊形.

求證:OE與AD互相平分.

分析:

因為四邊形OCDE是平行四邊形,所以O(shè)C//ED,OC=DE,又由O是AC的中點,得出AO//ED,AO=ED,則四邊形AODE是平行四邊形,問題得證.

證明:連結(jié)AE、OD，因為是四邊形OCDE是平行四邊形，

所以O(shè)C//DE，OC=DE，因為0是AC的中點，

所以A0//ED，AO=ED,                

所以四邊形AODE是平行四邊形，所以AD與OE互相平分.                                        

說明：當已知條件中涉及到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.

2．利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形

例2、 如圖2，在△ABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF，ED//AC，F(xiàn)G//AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC.                          

分析:要證明ED+FG=AC,因為DE//AC,可以經(jīng)過點E作EH//CD交AC于H得平行四邊形,得ED=HC,然后根據(jù)三角形全等,證明FG=AH.

證明:過點E作EH//BC,交AC于H,因為ED//AC,所以四邊形CDEH是平行四邊形,所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又AE=BF,所以△AEH≌△FBG,

所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.

說明：當圖形中涉及到一組對邊平行時，可通過作平行線構(gòu)造另一組對邊平行，得到平行四邊形解決問題.

3．利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形

例3 、如圖3，已知AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC.

分析：要證明BF=AC，一種方法是將BF和AC變換到同一個三角形中，利用等邊對等角；另一種方法是通過等量代換，尋找和BF、AC相等的相段代換.尋找相等的線段的方法一般是構(gòu)造平行四邊形.

證明：延長AD到G，使DG=AD，連結(jié)BG，CG，

因為BD=CD，所以四邊形ABGC是平行四邊形，

所以AC=BG，

AC//BG，所以∠1=∠4，因為AE=EF，

所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，

所以BF=BG=AC.                            

    圖3               圖4

說明：本題通過利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形.當已知中點或中線應(yīng)思考這種方法.

和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.

例4 、如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，E是AB上一點，且AE=AC，EF//BC交AD于點F，求證：四邊形CDEF是菱形.

分析：要證明四邊形CDEF是菱形，根據(jù)已知條件，本題有量種判定方法，一是證明四邊相等的四邊形是菱形，二是證明對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.根據(jù)AD是∠BAC的平分線，AE=AC，可通過連接CE，構(gòu)造等腰三角形，借助三線合一證明AD垂直CE.

求AD平分CE.

證明：連結(jié)CE交AD于點O，由AC=AE，得△ACE是等腰三角形，

因為AO平分∠CAE，所以AO⊥CE，且OC=OE，因為EF//CD，所以∠1=∠2，                    

又因為∠EOF=∠COD，所以△DOC可以看成由△FOE繞點O旋轉(zhuǎn)而成，所以O(shè)F=OD，所以CE、DF互相垂直平分.所以四邊形CDEF是菱形.

例5、如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長.

分析：要證明EF+BF的最小值是DE的長，可以通過連結(jié)菱形的對角線BD，借助菱形的對角線互相垂直平分得到DF=BF，然后結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊解決問題.

證明：連結(jié)BD、DF.

因為AC、BD是菱形的對角線，所以AC垂直BD且平分BD，

所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF≥DE，

當且僅當F運動到DE與AC的交點G處時，上式等號成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的長.

說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計算題作輔助線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高；（2）連結(jié)菱形的對角線.

和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：

（1）計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；

（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.

例6、如圖7，已知矩形ABCD內(nèi)一點，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的長.

分析：要利用已知條件，因為矩形ABCD，可過P分別作兩組對邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題.

解：過點P分別作兩組對邊的平行線EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于點H，交AD于G.

因為四邊形ABCD是矩形，

所以PF²=CH²=PC²-PH²，

DF²=AE²=AP²-EP²，

PH²+PE²=BP²，

所以 PD²=PC²-PH²+AP²-EP²

=PC²+AP²-PB²=5²+3²-4²=18，

所以 PD=3

說明：本題主要是借助矩形的四個角都是直角，通過作平行線構(gòu)造四個小矩形，然后根據(jù)對角線得到直角三角形，利用勾股定理找到PD與PA、PB、PC之間的關(guān)系，進而求到PD的長.

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線.

例7、如圖8，過正方形ABCD的頂點B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求證：∠BCF=

分析：由BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四邊形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知四邊形AHBO是正方形，從AH=OB=

可算出∠E=∠ACF=30°，∠BCF=15°.

證明：連接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H.

在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，

又BE//AC，AH⊥BE，所以BO⊥AC，

所以四邊形AOBH為正方形，所以AH=AO=

因為AE=AC，所以∠AEH=30°，

因為BE//AC，AE//CF，

所以ACFE是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°，

因為AC是正方形的對角線，所以∠ACB=45°，

所以∠BCF=15°，

所以∠BCF=

說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì).通過連接正方形的對角線構(gòu)造正方形AHBO，進一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問題.