弧度制概念構(gòu)建中管窺數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程性原則

江蘇南通市第二中學(xué)(226000)

陳 娟

[摘 要]有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，必定是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生過(guò)程豐富、學(xué)生構(gòu)建有效的知識(shí)結(jié)構(gòu)的教學(xué).這就是數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程性原則.弧度制是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念，以學(xué)生原有的角度制為基礎(chǔ)，以問(wèn)題打破學(xué)生的認(rèn)知平衡，并創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)潔的學(xué)習(xí)情境，可以讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)豐富的弧度制的概念建構(gòu)過(guò)程，從而保證了該概念教學(xué)的有效性.

[關(guān)鍵詞]過(guò)程性原則；弧度制；高中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程.研究表明，數(shù)學(xué)思維活動(dòng)存在于數(shù)學(xué)概念建構(gòu)過(guò)程、數(shù)學(xué)規(guī)律的探究過(guò)程當(dāng)中.在教學(xué)中堅(jiān)持過(guò)程性原則，可以真正讓學(xué)生處于學(xué)習(xí)的主體地位，從而讓數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程得以真正發(fā)生.“弧度制”是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的一個(gè)基本概念，也是學(xué)生不太容易理解的一個(gè)概念.學(xué)生常常會(huì)提出一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)圓周角是360度，其與π怎么會(huì)有關(guān)系呢？這樣的問(wèn)題如果要想在概念建構(gòu)之時(shí)得到化解，那就必須堅(jiān)持過(guò)程性原則.本文試就此問(wèn)題進(jìn)行闡述.

一、研究學(xué)生先前經(jīng)驗(yàn)：角度制

毫無(wú)疑問(wèn)，學(xué)生最為熟悉的角的表示方式就是角度制，這是學(xué)生在義務(wù)教育階段的九年學(xué)習(xí)中積累起來(lái)的，在學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn)中是根深蒂固的.弧度制的教學(xué)必須尊重這一先前經(jīng)驗(yàn).尊重學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，這也是弧度制教學(xué)體現(xiàn)過(guò)程性的重要一步.筆者在教學(xué)中是這樣與學(xué)生交流的.

首先提出一個(gè)問(wèn)題：給出一個(gè)角，你們知道如何度量其大小嗎？這個(gè)問(wèn)題非常簡(jiǎn)單，目的就在于激活所有學(xué)生(面向全體的原則)的認(rèn)知——角度制.通常情況下，學(xué)生都會(huì)輕易地答出：用量角器測(cè)量.我緊跟著提出第二個(gè)問(wèn)題：用量角器量出的“度”是怎樣定義的？這個(gè)問(wèn)題相對(duì)于前一個(gè)問(wèn)題而言稍顯復(fù)雜，因?yàn)閷W(xué)生用慣了角度制，卻容易忽視其定義方式.但這個(gè)問(wèn)題通常也難不倒學(xué)生，只要稍加點(diǎn)撥，學(xué)生即可認(rèn)識(shí)到：1度即為將一周角360等份，然后取其中1份即為1度.在此基礎(chǔ)上，教師用“角度制”概括前兩個(gè)問(wèn)題的討論結(jié)果，并提出新的問(wèn)題：角度制中為什么采用360等份？為什么不采用更常見(jiàn)的100等份？“度”下面還有“分”和“秒”單位，它們的進(jìn)制有的是十進(jìn)制，有的是六十進(jìn)制，這是不是一種矛盾？這幾個(gè)問(wèn)題是學(xué)生所沒(méi)有思考過(guò)的，但學(xué)生用一兩分鐘的時(shí)間思考之后便又發(fā)現(xiàn)確實(shí)是個(gè)問(wèn)題，而且還是存在著一定不合理性或者說(shuō)矛盾的問(wèn)題.

遇到這種矛盾怎么辦？教師可以引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到有兩個(gè)選擇：一是修改原有的方法；二是建立新的辦法.這是一個(gè)方法論的問(wèn)題.等學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)之后，教師再提出數(shù)學(xué)上為了彌合這種矛盾且讓進(jìn)制變得統(tǒng)一，通常采用的辦法是引入新的描述角的方法.

上面幾個(gè)問(wèn)題在教學(xué)中具有承上啟下的作用，既幫學(xué)生鞏固了先前經(jīng)驗(yàn)，又讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了矛盾，從而打破了原有的認(rèn)知平衡.這種平衡一旦被打破，學(xué)生對(duì)新的學(xué)習(xí)就有了明顯的動(dòng)機(jī).

二、尋找新的表示方式：弧度制

如果說(shuō)上一環(huán)節(jié)使學(xué)生有了新的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的話(huà)，那如何為弧度制的引入創(chuàng)設(shè)一個(gè)恰當(dāng)?shù)那榫?，則是面臨的新的問(wèn)題.數(shù)屆學(xué)生的教學(xué)實(shí)踐讓筆者認(rèn)識(shí)到，此時(shí)的情境創(chuàng)設(shè)不宜過(guò)于復(fù)雜，甚至也不能過(guò)于生活化.因?yàn)楣P者發(fā)現(xiàn)如果情境過(guò)于生活化、過(guò)于復(fù)雜，不但浪費(fèi)了時(shí)間，還會(huì)讓學(xué)生的注意力發(fā)生轉(zhuǎn)移，這對(duì)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)來(lái)說(shuō)是一個(gè)相當(dāng)消極的影響.這一教學(xué)認(rèn)識(shí)與理論之間可能存在一些矛盾，因?yàn)楹芏嗲闆r下學(xué)習(xí)情境都是強(qiáng)調(diào)生活性的，但實(shí)踐還是讓筆者得到上面的結(jié)論，并且堅(jiān)信其是符合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際的.在這一思路下，筆者給學(xué)生提供了這樣的一個(gè)情境：在黑板上任意畫(huà)出一個(gè)銳角，并提出問(wèn)題：如果不用量角器，即不用角度制，那應(yīng)當(dāng)如何表示其大小呢？

這個(gè)情境與前面復(fù)習(xí)時(shí)問(wèn)題中的素材是一樣的，但問(wèn)題給出的條件是不同的.不用量角器實(shí)際上也就是不用角度制，不用角度制意味著原有的研究角的方法不可用了.于是情境所催生的問(wèn)題就很明確了，要尋找一種新的表示角的方法.既然是一種方法，那就必須具有普遍意義，就要尋找變與不變的關(guān)系.通常情況下，學(xué)生的思路是不容易突破的，這個(gè)時(shí)候教師可以發(fā)揮教的作用.筆者的做法是用圓規(guī)一腳固定在該銳角的頂角處，然后任選三個(gè)長(zhǎng)度為半徑，作出三個(gè)同心圓，于是這個(gè)銳角就成為這三個(gè)同心圓的圓心角.畫(huà)完之后稍作停留，看學(xué)生的反應(yīng).

如果不出意外，此時(shí)班上數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生會(huì)有所感悟，盡管他們可能一下子還不能從弧度與半徑的關(guān)系去尋找新的描述角的方式，但一定會(huì)有所發(fā)現(xiàn).此時(shí)可以以小組合作的方式，先讓學(xué)生進(jìn)行討論(通常分組時(shí)，這些尖子生就分散在各個(gè)小組，因此每個(gè)小組都會(huì)在他們的帶領(lǐng)之下獲得新的理解).小組討論并交流完畢之后，教師進(jìn)行下一步的引導(dǎo)，實(shí)際上也就是提出問(wèn)題：同一個(gè)角對(duì)應(yīng)著三個(gè)不同的圓，反過(guò)來(lái)就是三個(gè)不同的圓對(duì)應(yīng)著同一個(gè)角，這種“同”與“不同”的背后，是不是存在著某種可以描述角的方式呢？基于剛才的討論，基于這一問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)，學(xué)生就比較容易發(fā)現(xiàn)同一個(gè)角所對(duì)應(yīng)的“弧”與“半徑”雖然是不同的，但是它們的比值卻是相等的.相等意味著定值的存在，而定值在數(shù)學(xué)中常常都是有代表意義的，而這就意味著一個(gè)角所對(duì)應(yīng)的弧與半徑的比可以成為新的表示角的方法.

經(jīng)驗(yàn)表明，此時(shí)是需要停頓的，是需要留出時(shí)間讓學(xué)生內(nèi)化的——角度制是可用量角器量的，有感性經(jīng)驗(yàn)，已經(jīng)成為學(xué)生的直覺(jué)，而新的方法只是邏輯推理的結(jié)果，感性經(jīng)驗(yàn)相對(duì)不足，這必然會(huì)產(chǎn)生文章開(kāi)頭提到的困惑，這個(gè)困惑最好的化解時(shí)機(jī)，就是此時(shí)(弧度制的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，這里不再贅述，因?yàn)槠渑c傳統(tǒng)教學(xué)思路已經(jīng)趨于一致).

三、思維過(guò)程循序漸進(jìn)：過(guò)程性

在上述兩步教學(xué)中，先放大了學(xué)生的原有先前經(jīng)驗(yàn)，后又通過(guò)問(wèn)題的提出使學(xué)生的認(rèn)知處于矛盾與失衡當(dāng)中，從而產(chǎn)生對(duì)新知的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的作用下，通過(guò)簡(jiǎn)潔的學(xué)習(xí)情境的提供，使得學(xué)生發(fā)現(xiàn)了新的定義角的方法，于是弧度制順利形成.

事實(shí)證明，這是一個(gè)非常符合學(xué)生認(rèn)知習(xí)慣的過(guò)程，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中會(huì)遇到困惑，但困惑的解決過(guò)程也是順利的.更重要的是，經(jīng)過(guò)這樣的教學(xué)過(guò)程，學(xué)生對(duì)弧度制的認(rèn)識(shí)是全面的，理解是深刻的，他們沒(méi)有那種被生硬地強(qiáng)行灌輸式的感覺(jué)，用有些學(xué)生的話(huà)說(shuō):“弧度制也沒(méi)什么復(fù)雜的，就是換一種方式描述角嘛！”而這樣的理解，也恰恰是筆者所追求的.

進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，在上述教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的思維其實(shí)是循序漸進(jìn)的，他們沒(méi)有因?yàn)閷W(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)突兀的情形而思維被阻礙，也沒(méi)有因?yàn)榻處熯^(guò)多的講授而使思維處于被動(dòng)接受的狀態(tài).這種過(guò)程性對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，是極為重要的.因?yàn)樵诮虒W(xué)實(shí)踐中筆者總發(fā)現(xiàn)相當(dāng)一部分學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總受制于思維，而思維的不暢又很大程度上是教學(xué)設(shè)計(jì)存在問(wèn)題.學(xué)生主體性的缺失，學(xué)生思維缺少載體，思維存在較大的跨度而沒(méi)有梯度等，都會(huì)成為思維阻塞的原因.而只要真正從思維的過(guò)程性角度思考，真正從學(xué)生認(rèn)識(shí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的過(guò)程角度思考，就會(huì)比較準(zhǔn)確地預(yù)設(shè)到學(xué)生可能存在的問(wèn)題，從而在教學(xué)中就可以對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行有效的化解，或者說(shuō)能夠讓學(xué)生在一個(gè)更為合理的過(guò)程中有效地完成自主建構(gòu).弧度制在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中說(shuō)難不難，說(shuō)易卻也不易，因?yàn)檫@個(gè)概念與角度制之間不存在知識(shí)上的太多聯(lián)系(角度制與弧度制的換算其實(shí)在高中數(shù)學(xué)中涉及不是很多)，方法上也不存在太多的相通的地方，僅僅是它們研究的目標(biāo)相同而已，這就意味著這一概念的教學(xué)需要重新塑造一個(gè)適合學(xué)生思維的教學(xué)過(guò)程，而以上的描述就是筆者的嘗試，應(yīng)當(dāng)說(shuō)這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)還是有一定的效果的.

總而言之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)過(guò)程性，其實(shí)就是讓知識(shí)的發(fā)生過(guò)程更豐富一些，讓學(xué)生的思維階梯再合理一些.如此，無(wú)論是數(shù)學(xué)概念還是數(shù)學(xué)規(guī)律，都會(huì)真正融入學(xué)生的原有認(rèn)知當(dāng)中.

(責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))

[中圖分類(lèi)號(hào)] G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058(2017)26-0022-02