專題二 機(jī)械能守恒與能量守恒
[高考要求]
本專題涉及的考點(diǎn)有:重力勢能、彈性勢能、機(jī)械能守恒定律、能量轉(zhuǎn)化及守恒定律都是歷年高考的必考內(nèi)容,考查的知識(shí)點(diǎn)覆蓋面全,頻率高,題型全。機(jī)械能守恒定律、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律是力學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),用能量觀點(diǎn)解題是解決動(dòng)力學(xué)問題的三大途徑之一。
《考綱》對本部分考點(diǎn)要求為Ⅱ類有三個(gè)??碱}的內(nèi)容經(jīng)常與牛頓運(yùn)動(dòng)定律、曲線運(yùn)動(dòng)、動(dòng)量守恒定律、電磁學(xué)等方面知識(shí)綜合,物理過程復(fù)雜,綜合分析的能力要求較高,這部分知識(shí)能密切聯(lián)系生活實(shí)際、聯(lián)系現(xiàn)代科學(xué)技術(shù),因此,每年高考的壓軸題,高難度的綜合題經(jīng)常涉及本專題知識(shí)。它的特點(diǎn):一般過程復(fù)雜、難度大、能力要求高。還??疾榭忌鷮⑽锢韱栴}經(jīng)過分析、推理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力。所以復(fù)習(xí)時(shí)要重視對基本概念、規(guī)律的理解掌握,加強(qiáng)建立物理模型、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力。
由于新課程標(biāo)準(zhǔn)更注重聯(lián)系生活、生產(chǎn)實(shí)際,更重視能源、環(huán)保、節(jié)能等問題,因此,能量的轉(zhuǎn)化及其守恒很有可能在新課程的第一年高考中有所體現(xiàn),師生們應(yīng)引起足夠的重視。
[知識(shí)體系]
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[知識(shí)點(diǎn)撥]
1、機(jī)械能守恒定律
機(jī)械能守恒的條件:系統(tǒng)內(nèi)只有重力(或彈力)做功,其它力不做功(或沒有受到其它力作用)
①從做功的角度看,只有重力或彈簧的彈力做功或系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功,機(jī)械能守恒。 間的轉(zhuǎn)化,機(jī)械能守恒。
機(jī)械能守恒的方程:
①初始等于最終:Ek1?Ep1?Ek2?Ep2 ②減少等于增加:?Ek???EP
用第二種方法有時(shí)更簡捷。 對機(jī)械能守恒定律的理解:
機(jī)械能守恒定律是對一個(gè)過程而言的,在做功方面只涉及跟重力勢能有關(guān)的重力做功和跟彈性勢能相關(guān)的彈力做功。運(yùn)動(dòng)的各個(gè)過程的詳細(xì)情況;因此,用來分析某些過程的狀態(tài)量十分簡便。
機(jī)械能中的勢能是指重力勢能和彈性勢能,不包括電勢能和分子勢能,這一點(diǎn)要注意。 思維誤區(qū)警示:
對于一個(gè)系統(tǒng),系統(tǒng)不受外力或合外力為零,并不能保證重力以外其他力不做功,所以系統(tǒng)外力之和為零,機(jī)械能不一定守恒,而此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量卻守恒(因?yàn)閯?dòng)量守恒的條件是系統(tǒng)的合外力為零)。同樣,只有重力做功,并不意味系統(tǒng)不受外力或合外力為零。
2、能量守恒定律
(1)內(nèi)容:能量既不會(huì)憑空產(chǎn)生,也不會(huì)憑空消失,它只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式,或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移互另一個(gè)物體,在轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的過程中其總量保持不變。 (2)對能量守恒定律的理解: ①某種形式的能量減少,一定存在其他形式的能的增加,且減少量和增加量一定相等。 ②某個(gè)物體的能量減少,一定存在其他物體的能量增加,且減少量和增加量一定相等。 (3)能量轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移具有方向性 第二類永動(dòng)機(jī)不可制成,它不違反能量守恒定律,只是違背了能量轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的不可逆性。
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、、△E機(jī))的常用方法: WG=EP1-EP2=mgΔh 重力做功與路徑無關(guān)
重力做正功,重力勢能減少,重做負(fù)功,重力勢能增加
注意:ΔEP和重力做功與參考平面的選擇無關(guān)(但重力勢能與參考平面的選擇有關(guān))
[專題探究]
(一)利用機(jī)械能守恒定律求解拋體運(yùn)動(dòng)問題
案例1、從離水平地面高為H的A點(diǎn)以速度v0斜向上拋出一個(gè)質(zhì)量為m的石塊,已知v0與水平方向的夾角為θ,不計(jì)空氣阻力,求:
(1)石塊所能達(dá)到的最大高度 (2)石塊落地時(shí)的速度
命題解讀:本題研究拋體運(yùn)動(dòng)中的機(jī)械能守恒定律。斜拋運(yùn)動(dòng)的水平分運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng),因此石塊在最高點(diǎn)的速度是拋出初速度的水平分量。石塊只受重力的作用,機(jī)械能守恒。
分析與解:石塊拋出后在空中運(yùn)動(dòng)過程中,只受重力作用,機(jī)械圖1 能守恒,作出石塊的運(yùn)動(dòng)示意圖
(1)設(shè)石塊在運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)B處與拋出點(diǎn)A的豎直高度差為h,水平速度為vB, 則vB=vOx=v0cosθ
石塊從A到B,根據(jù)機(jī)械能守恒定律ΔEk減=ΔEp增
得:mgh=
11
mv02-mvB2 22
2
2
v?(vcos?)vsin? 00聯(lián)立得:h??0
2g2g
則石塊所能達(dá)到的(距地面)最大高度為:H+h=H+
v0sin?
2g
(2)取地面為參考平面,對石塊從拋出點(diǎn)A至落地點(diǎn)C的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程應(yīng)用機(jī)械能守恒定律得
11
mvC2=mv02+mgH 22
2
解得石塊落地時(shí)的速度大小為:vC=v0?2gH 變式訓(xùn)練:
某同學(xué)利用如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律?;⌒诬壍滥┒怂剑x地面的高
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度為H。將鋼球從軌道的不同高度h處靜止釋放,鋼球的落點(diǎn)距軌道末端的水平距離為s. (1)若軌道完全光滑,s2與h的理論關(guān)系應(yīng)滿足s2= (用H、h表示)。 (2)該同學(xué)經(jīng)實(shí)驗(yàn)測量得到一組數(shù)據(jù),如下表所示:
請?jiān)谧鴺?biāo)紙上作出s2--h關(guān)系圖.。
(3)對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算得到的s2--h關(guān)系圖線(圖中已畫出),自同一高度靜止釋
放的鋼球,水平拋出的速度 (填“小于”或“大于”)理論值.
(4)從s2--h關(guān)系圖線中分析得出鋼球水平拋出的速率差十分顯著,你認(rèn)為造成上述偏
差的可能原因是 . 動(dòng)能,或者是弧形軌道的摩擦力太大。 解析:(1)由鋼球在弧形槽上運(yùn)動(dòng),機(jī)械能守恒:
mgh?
12
mv 2
離開弧形槽后,鋼球做平拋運(yùn)動(dòng):
s, t
12
豎直方向:H?gt
2
水平方向:v?
聯(lián)立解得:s2=4Hh
(2)由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作圖,得到一條通過原點(diǎn)的斜率比理論圖線小的直線。
(3)實(shí)驗(yàn)圖和理論圖比較可以發(fā)現(xiàn),小球從相同高度下落,對應(yīng)的s實(shí)<s理,又s∝v,說明自同一高度靜止釋放的小球,水平拋出的速率小于理論值。
(4)實(shí)驗(yàn)中速率差十分明顯,可能是一部分重力勢能轉(zhuǎn)變成鋼球的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,或者是弧形軌道的摩擦力太大的原因。
(二)利用機(jī)械能守恒定律解決彈力做功與彈性勢能問題
案例2、 如圖所示,一個(gè)質(zhì)量為m的物體自高h(yuǎn)處自由下落,落在一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧上。求:當(dāng)物體速度達(dá)到最大值v時(shí),彈簧對物體做的功為多少?
命題解讀:彈簧的彈力是變力,彈力做功是變力做功,本題由于形變量不清楚,不能運(yùn)用F—l圖象求彈力做的功;只能根據(jù)機(jī)械能守恒定律先求
圖
解出彈性勢能的變化,再運(yùn)用功能關(guān)系求解彈力做的功。同時(shí)要注意物體在平衡位置時(shí)動(dòng)能最大,運(yùn)動(dòng)的速度最大。
分析與解:在物體與彈簧相互作用的過程中,開始時(shí)彈力較小,故物體向下加速,這時(shí)彈力F逐漸增大,物體的加速度a逐漸變小,當(dāng)重力與彈力相等時(shí),物體的速度剛好達(dá)到最大值v。設(shè)物體向下的速度v最大時(shí),彈簧的形變量即壓縮量為x,則
平衡時(shí):mg=kx 物體與彈簧組成的系統(tǒng)只有重力、彈力做功,故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。
當(dāng)物體速度達(dá)到最大v時(shí),彈簧的彈性勢能為Ep,由機(jī)械能守恒定律有:
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mg(h+x)=
12
mv+Ep 2
(mg)212
由上面兩式可得:Ep=mgh+-mv,
2k
由功能關(guān)系可知,彈簧彈性勢能的增加量與彈簧力做功的數(shù)值相等。故彈簧對物體所做
12(mg)2
的功為:W=-Ep=mv-mgh-
2k
變式訓(xùn)練:
變式1、如圖所示的彈性系統(tǒng)中,接觸面光滑,O為彈簧自由伸長狀態(tài)。第一次將物體從O點(diǎn)拉到A點(diǎn)釋放,第二次將物體從O點(diǎn)拉到B點(diǎn)釋放,物體返回到O點(diǎn)時(shí),下列說法正確的是:( )
A、彈力做功一定相同 B、到達(dá)O點(diǎn)時(shí)動(dòng)能期一定相同
C、物體在B點(diǎn)的彈性勢能大 D、系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒
解析:彈簧的形變不同,彈力做功不同,A錯(cuò)。彈力做功不同,彈性勢能的減少量不同,由機(jī)械能守恒定律知,物體回到O點(diǎn)的動(dòng)能不同,B錯(cuò)誤。物體在B點(diǎn)形變最大,彈性勢能最大,C正確。系統(tǒng)只有彈力做功,機(jī)械能一定守恒,D錯(cuò)誤。
正確答案選C。
變式2、如圖,質(zhì)量為m1的物體A 經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為m2的物體B 相連,彈簧的勁度系數(shù)為k , A 、B 都處于靜止?fàn)顟B(tài).一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪,一端連物體A ,另一端連一輕掛鉤.開始時(shí)各段繩都處于伸直狀態(tài),A 上方的一段繩沿豎直方向.現(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C 并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放,已知它恰好能使B 離開地面但不繼續(xù)上升.若將C 換成另一個(gè)質(zhì)量為(m1+ m3)的物體D ,仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放,則這次B 剛離地時(shí)D的速度的大小是多少?已知重力加速度為g
解析: 開始時(shí),A、B 靜止,設(shè)彈簧壓縮量為x1,有kx1?m1g
掛C并釋放后,C向下運(yùn)動(dòng),A 向上運(yùn)動(dòng),設(shè)B剛要離地時(shí)彈簧伸長量為x2, 有kx2?m2g
B不再上升,表示此時(shí)A 和C的速度為零,C已降到其最低點(diǎn).由機(jī)械能守恒,與初始狀態(tài)相比,彈簧彈性勢能的增加量為
E=m3g(x1?x2)?m1g(x1?x2)
C換成D后,當(dāng)B剛離地時(shí)彈簧勢能的增量與前一次相同,由能量關(guān)系得
11
(m3?m1)υ2?m1υ2?(m3?m1)g(x1?x2)?m1g(x1?x2)??E
22
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(四)利用機(jī)械能守恒定律求解質(zhì)量分布均勻的繩子、鏈子問題
案例3 如圖3所示,在光滑水平桌面上,用手拉住長為L質(zhì)量
為M的鐵鏈,使其1/3垂在桌邊。松手后,鐵鏈從桌邊滑下,求鐵
鏈末端經(jīng)過桌邊時(shí)運(yùn)動(dòng)速度是過少?
命題解讀:繩子、鐵鏈子運(yùn)動(dòng)的問題,對于每一部分來講都是
變力,運(yùn)用動(dòng)能定理難以解決過程中變力做的功。但運(yùn)用機(jī)械能守
恒定律只需要知道繩子的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài),不必考慮運(yùn)動(dòng)過程,因
此解題就簡單了。此類問題的重力勢能要取每部分的中心,要選好參考平面,盡量使解題簡捷。
分析與解:松手后,鐵鏈在運(yùn)動(dòng)過程中,受重力和桌面的支持力,支持力的方向與運(yùn)動(dòng)方向垂直,對鐵鏈不做功,即這一過程中,只是垂在桌外部分的重力做功。因此,從松手到鐵鏈離開桌邊,鐵鏈的機(jī)械能守恒。以桌面為重力勢能參考面 11m,其重心在桌面下L處 36
111此時(shí)鐵鏈的重力勢能為:-mgL=-mgL 3618松手時(shí),桌外部分的質(zhì)量為
鐵鏈末端剛離桌面時(shí),整條鐵鏈都在空中,其重心在桌面下
此時(shí)鐵鏈的重力勢能為:-1L處 21mgL 2
設(shè)此時(shí)鐵鏈的速度為v,由機(jī)械能守恒定律有:
111mgL??mgL?mv2 1822
解得:v?22gL 3
22gL 3故鐵鏈末端經(jīng)過桌邊時(shí),鐵鏈的運(yùn)動(dòng)速度是v?
變式訓(xùn)練:
變式1、如圖所示,均勻的鐵鏈子搭在小定滑輪上,左端占總長的2/5,現(xiàn)將
鐵鏈由靜止釋放,當(dāng)多少?
解析:選取滑輪中心水平線為參考平面,設(shè)繩子總長為l
根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律:
3321l1?mg?l?mg?l??mg?mv2 5105522
解得鐵鏈子剛剛離開滑輪時(shí),鏈子的運(yùn)動(dòng)速度是:
v?32gl 5
變式2、如圖16所示,游樂列車由許多節(jié)車廂組成。列車全長為L,圓形軌道半徑為R,(R遠(yuǎn)大于一節(jié)車廂的高度h和長度l,但L>2πR).已知列車的車輪是卡在導(dǎo)軌上的光滑槽中只能使列車沿著圓周運(yùn)動(dòng)而不能脫軌。試問:
列車在水平軌道上應(yīng)具有多大初速度v0,才能使列車通過圓形軌道?
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16
解析:列車開上圓軌道時(shí)速度開始減慢,當(dāng)整個(gè)圓軌道上都擠滿了一節(jié)節(jié)車廂時(shí),列車速度達(dá)到最小值v,此最小速度一直保持到最后一節(jié)車廂進(jìn)入圓軌道,然后列車開始加速。由于軌道光滑,列車機(jī)械能守恒,設(shè)單位長列車的質(zhì)量為λ,則有:
112?Lv0??Lv2???2?R?gR 22
要使列車能通過圓形軌道,則必有v>0 解得v0?2Rg
L
(五)利用機(jī)械能守恒定律求解連通器水流速問題
案例5、粗細(xì)均勻的U型管兩端開口,左端用活塞壓著液體,此時(shí)兩液
面的高度差為h,液體的總長度為L,U型管的截面積為s,液體的密度為
ρ?,F(xiàn)在突然抽去活塞,(1)不計(jì)阻力影響,當(dāng)兩端液面相平時(shí),液體運(yùn)動(dòng)
的速度是多少?(2)若最終液體靜止不動(dòng),則系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能是多少?
命題解讀:流體的運(yùn)動(dòng)也是“變力”作用的運(yùn)動(dòng),但在一定的位置流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是一定的。研究流體的運(yùn)動(dòng)速度,能量問題,最好運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和能量轉(zhuǎn)化及守恒定律。研究的方法是把變質(zhì)量看作定質(zhì)量,運(yùn)用“補(bǔ)償法”、“等效法”、“整體法”、“對稱法”去解決問題。
分析與解:(1)若不計(jì)阻力。如圖所示,當(dāng)兩端液面相平時(shí),可以等效地認(rèn)為是把高度為h的液體對稱地補(bǔ)償?shù)搅硪欢?,看成是定質(zhì)量問題。系2
統(tǒng)重力勢能的減少量等于動(dòng)能的增加量。 即:?hh1sg??Lsv2 222
解得兩端液面相平時(shí),液體運(yùn)動(dòng)的速度是v?gh 2L2
(2)根據(jù)能量轉(zhuǎn)化及守恒定律,系統(tǒng)重力勢能的減少量等于內(nèi)能的增加量 所以增加的內(nèi)能是:?E??hh1sg??gsh2 224
變式訓(xùn)練:
如圖所示,容器A、B各有一個(gè)可以自由移動(dòng)的活塞,活塞截面積
分別為SA、SB,活塞下面是水,上面是空氣,大氣壓恒為P0,A、B底部
與帶有閥門K的管道相連,整個(gè)裝置與外界絕熱原先,A中水面比B中
高h(yuǎn),打開閥門,使A中水逐漸流向B中,最后達(dá)平衡,在這個(gè)過程中,
大氣壓對水做功為______,水的內(nèi)能增加為______(設(shè)水的密度為ρ)
解析:(1)設(shè)平衡時(shí),左側(cè)水面下降高度hA,右側(cè)水面下降高度hB,
兩側(cè)體積相等,即:hAsA?hBsB
左側(cè)大氣壓對水做正功:WA?P0hAsA
右側(cè)大氣壓對水做負(fù)功:WB?
P0hBsB
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大氣壓對水做的總功為W=WA+WB=0
(2)由能量轉(zhuǎn)化及守恒定律得:
水的內(nèi)能增加?E?SS1?gh2AB 2SA?SB
(六)利用機(jī)械能守恒定律解決圓周運(yùn)動(dòng)的問題
當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)的物體都在做圓周運(yùn)動(dòng),若機(jī)械能守恒,則可利用機(jī)械能守恒定律列一個(gè)方程,但未知數(shù)有多個(gè),因此必須利用圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)補(bǔ)充方程,才能解答相關(guān)問題。
案例6、如圖所示,半徑為r,質(zhì)量不計(jì)的圓盤與地面垂直,圓心處
有一個(gè)垂直盤面的光滑水平固定軸O,在盤的最右邊緣固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A,在O點(diǎn)的正下方離O點(diǎn)r/2處固定一個(gè)質(zhì)量也為m的小
球B。放開盤讓其自由轉(zhuǎn)動(dòng),問:
(1)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度是多少?
(2)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少?
圖16 命題解讀:這是一道機(jī)械能與圓周運(yùn)動(dòng)綜合的問題,注意到兩球任
意時(shí)刻的角速度相等。過程中系統(tǒng)的始態(tài)、末態(tài)的重力勢能,因參考面
的選取會(huì)有所不同,但重力勢能的變化是絕對的,不會(huì)因參考面的選取而異。機(jī)械能守恒的表達(dá)方式可記為:Ek1?EP1?Ek2?EP2,也可寫作:?Ek增??EP減。
分析與解:該系統(tǒng)在自由轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,只有重力做
功,機(jī)械能守恒。設(shè)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度為vA,B
球的速度為VB,則據(jù)機(jī)械能守恒定律可得:
11212mgr?(?mgr)?mvA?mvB 222
據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)可知:vA=2vB
由上述二式可求得vA=4gr/5
設(shè)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是θ(如圖
17所示),則據(jù)機(jī)械能守恒定律可得: 圖17
11?mgr?mgrsin??mgrcos? 2230 -1解得θ=sin5=37
變式訓(xùn)練:
小球A用不可伸長的細(xì)繩懸于O點(diǎn),在O點(diǎn)的正下方有一固定的釘子B,OB=d,初始時(shí)小球A與O同水平面無初速度釋放,繩長為L,為使小m 球能繞B點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng),如圖15所示。試求d的取值范圍。
解析: 為使小球能繞B點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng),則小
球在D對繩的拉力F1應(yīng)該大于或等于零,即有:
mg?mV
L?d2D圖15
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根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得
由以上兩式可求得:12mVD?mg?d?(L?d)? 23L?d?L 5
(七)用能量守恒Q?F滑S相對解相對運(yùn)動(dòng)問題
案例7、如圖所示,小車的質(zhì)量為M,后端放一質(zhì)量為m的鐵塊,鐵塊與小車之間的動(dòng)摩擦系數(shù)為?,它們一起以速度v沿光滑地面向右運(yùn)動(dòng),小車與右側(cè)的墻壁發(fā)生碰撞且無能量損失,設(shè)小車足夠長,則小車被彈回向左運(yùn)動(dòng)多遠(yuǎn)與鐵塊停止相對滑動(dòng)?鐵塊在小車上相對于小車滑動(dòng)多遠(yuǎn)的距離?
命題解讀:本題考查動(dòng)能定理、能量守恒定律、動(dòng)量守
恒定律。兩個(gè)物體相互摩擦而產(chǎn)生的熱量Q(或說系統(tǒng)內(nèi)能
的增加量)等于物體之間滑動(dòng)摩擦力Ff與這兩個(gè)物體間相對
滑動(dòng)的路程的乘積,即Q?F滑S相對。利用這結(jié)論可以簡便地解答高考試題中的“摩擦生熱”問題。
分析與解:小車反彈后與物體組成一個(gè)系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒,規(guī)定小車反彈后的方向作向左為正方向,設(shè)共同速度為vx,則:Mv?mv?(M?m)vx 解得:vx?M?mv M?m
112Mvx?Mv2 22以車為對象,摩擦力始終做負(fù)功,設(shè)小車對地的位移為S車 則:-?mgS車?
2M2v2
即:S車= 2?g(M?m)
系統(tǒng)損耗機(jī)械能為:?E?Q?fS相
2?mgS相=(M?m)v2?(M?m)vx 1
212
2Mv2
; S相=?(M?m)g
變式訓(xùn)練:
變式1、如圖4-4所示,質(zhì)量為M,長為L的木板(端
點(diǎn)為A、B,中點(diǎn)為O)在光滑水平面上以v0的水平速度向
右運(yùn)動(dòng),把質(zhì)量為m、長度可忽略的小木塊置于B端(對地
初速度為0),它與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,問v0在什么
范圍內(nèi)才能使小木塊停在O、A之間?
解析:木塊與木板相互作用過程中合外力為零,動(dòng)量守恒。設(shè)木塊、木板相對靜止時(shí)速度為 v,
則 (M +m)v = Mv0
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能量守恒定律得:1112Mv0?Mv2?mv2?Q 222
滑動(dòng)摩擦力做功轉(zhuǎn)化為內(nèi)能:Q??mgs 相對位移的范圍是:L?s?L 2
解得v0 的范圍應(yīng)是:
(M?m)gL
M≤v0≤2?(M?m)gL M
變式2、在光滑水平面上停放著一輛質(zhì)量為M的小車,
質(zhì)量為m的物體與勁度系數(shù)為k的輕彈簧牢固連接,彈簧
的另一端與小車左端連接。將彈簧壓縮x0后用細(xì)線把物體
與小車拴住,使物體靜止于車上A點(diǎn),如圖4所示。物體m
與小車間的動(dòng)摩擦因素為μ,O為彈簧原長時(shí)物體右端所在
位置。然后將細(xì)線燒斷,物體和小車都要開始運(yùn)動(dòng)。求:
(1)當(dāng)物體在車上運(yùn)動(dòng)到距O點(diǎn)多遠(yuǎn)處,小車獲得的速度最大?
(2)若小車的最大速度是v1,則此過程中彈簧釋放的彈性勢能是
多少?
解析:(1)物塊m和小車M組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒。當(dāng)物塊速度最
大時(shí),小車的速度也最大。對物塊m,速度最大時(shí),加速度為零。
則有kx=μmg,所以x=μmg/k。
(2)由系統(tǒng)動(dòng)量守恒,得Mv1-mv2=0,V2=Mv1/m
由能量守恒定律可知,,彈簧釋放的彈性勢能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和內(nèi)能,有
△Ep=EkM+Ekm+Q
而Q=fs相對=μmg(x0-μmg/k),
△Ep=Mv12(M+m)/2m+μmg(x0-μmg/k)
(八)用能量守恒解決傳送帶的運(yùn)動(dòng)問題
案例8、如圖7所示,傳送帶與地面的傾角θ=37°,從A端到B
端的長度為16m,傳送帶以v0=10m/s的速度沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。在傳
送帶上端A處無初速地放置一個(gè)質(zhì)量為0.5kg的物體,它與傳送帶之
間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5,求(1)物體從A端運(yùn)動(dòng)到B端所需的時(shí)間
是多少?(2)這個(gè)過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能。(sin37°=0.6,cos37°=0.8) 圖7 命題解讀:該題目的關(guān)鍵就是要分析好各階段物體所受摩擦力的
大小和方向,若μ>0.75,第二階段物體將和傳送帶相對靜止一起向下勻速運(yùn)動(dòng);若L<5m,物體將一直加速運(yùn)動(dòng)。因此,在解答此類題目的過程中,對這些可能出現(xiàn)兩種結(jié)果的特殊過程都要進(jìn)行判斷。
分析與解:物體放在傳送帶上后,開始階段,傳送帶的速度大于物體的速度,傳送帶施加給物體一沿斜面向下的滑動(dòng)摩擦力,物體由靜止開始加速下滑,受力分析如圖(a)所示;當(dāng)物體加速至與傳送帶速度相等時(shí),由于μ<tanθ,物體在重力作用下將繼續(xù)加速,此后物體的速度大于傳送帶的速度,傳送帶給物體沿傳送帶向上的滑動(dòng)摩擦力,但合力沿傳送帶向下,物體繼續(xù)加速下滑,受力分析如圖(b)所示。綜上可知,滑動(dòng)摩擦力的方向在獲得共同速度的瞬間發(fā)生了“突變”。
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(九)用能量守恒解決熱力學(xué)問題
案例9、如圖6所示的A、B是兩個(gè)管狀容器,除了管較粗的部分高低不同之外,其他一切全同。將此兩容器抽成真空,再同時(shí)分別插入兩個(gè)水銀池中,當(dāng)
水銀柱停止運(yùn)動(dòng)時(shí),問二管中水銀的溫度是否相同?為什么?設(shè)水銀與
外界沒有熱交換。
命題解讀:本題主要研究液體內(nèi)部能量的轉(zhuǎn)化與守恒問題。液體
中的能量問題除了重力勢能,還有內(nèi)能,要結(jié)合功能關(guān)系,搞清能量
的守恒關(guān)系。
分析與解:不同。A管中水銀的溫度略高于B管中水銀的溫度。
兩管插入水銀池時(shí),大氣壓強(qiáng)均為P0,進(jìn)入管中的水銀的體積均為V,
所以大氣壓力對兩池中水銀所做的功相同,但兩裝置中水銀重力勢能
的增量不同,所以兩者內(nèi)能改變量也不同。由圖可知,A管中水銀的重力勢能較小,所以A管中水銀的內(nèi)能增量較多,其溫度應(yīng)略高。
變式訓(xùn)練:
有人設(shè)計(jì)了這樣一臺(tái)“永動(dòng)機(jī)”:如圖,距地面一定高度架設(shè)一個(gè)水槽,水從槽底的管中流出,沖擊一個(gè)水輪機(jī),水輪機(jī)的軸上安裝一個(gè)抽水機(jī)和一個(gè)砂輪.他指望抽水機(jī)把地面水槽里的水抽上去,這樣循環(huán)不已,機(jī)器不停地轉(zhuǎn)動(dòng),就可以永久地用砂輪磨制工件做功了。
請你分析一下,高處水槽中水的重力勢能共轉(zhuǎn)變成哪幾種形式的能,說明這個(gè)機(jī)器是否能夠永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)下去。
解析:高處水槽中水的重力勢能轉(zhuǎn)變成了水的動(dòng)能、砂輪磨制工件產(chǎn)生的內(nèi)能,水輪機(jī)與軸摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能。
這個(gè)機(jī)器不可能夠永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)下去。一方面摩擦產(chǎn)生內(nèi)能,損失機(jī)械能;另一方面抽水機(jī)向上抽水,消耗電能。
(十)用能量守恒解決電學(xué)問題
案例10、有一臺(tái)內(nèi)阻和損耗均不計(jì)的直流發(fā)電機(jī),
其定子的磁場恒定。先把它的電樞(轉(zhuǎn)子)線圈與一個(gè)
電阻R連接,再在電樞的轉(zhuǎn)子軸上纏繞上足夠長的輕繩
繩端懸掛一質(zhì)量為m的重物,如圖9所示,重物最后以
速率v1勻速下降?,F(xiàn)將一電動(dòng)勢為E,內(nèi)阻不計(jì)的電源,
如圖10所示,接入電路中,使發(fā)電機(jī)作為電動(dòng)機(jī)用。懸
掛重物不變,最后重物勻速上升。求重物上升的速率v2。
命題解讀:本題涉及發(fā)電機(jī)與電動(dòng)機(jī)的能量轉(zhuǎn)化及
守恒問題。一個(gè)是機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能;另一個(gè)電源工作將其他形式的能轉(zhuǎn)化電能輸入電路,電流通過電機(jī)將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能輸出。搞清能量守恒關(guān)系就能順利解題。
分析與解:在圖9的物理過程中,重物以速率v1勻速下降,帶動(dòng)發(fā)電機(jī)線圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng),切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢,將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能,在電路中消耗。由能量守恒定律可得:
mgv1t=I12Rt
在圖10的物理過程中,電源工作將其他形式的能轉(zhuǎn)化電能輸入電路,電流通過電機(jī)將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能輸出。
由能量守恒定律可得:EI2t=I22Rt+mgv2t
在兩次工作過程中電機(jī)的線圈都勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。作用在轉(zhuǎn)軸上力矩都平衡,而兩次重力矩相等,從而兩次作用在線圈上的磁力矩相等,所以有: I1=I2
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聯(lián)立解得:v2?Ev1?v1 mgR
變式訓(xùn)練:
某一用直流電動(dòng)機(jī)提升重物的裝置,如圖11所
示,重物的質(zhì)量m=50kg,電源電動(dòng)勢E=110V,不計(jì)
電源電阻及各處摩擦,當(dāng)電動(dòng)機(jī)以v=0.90m/s的恒定
速度向上提升重物時(shí),電路中的電流強(qiáng)度I=5A,由此
可知,電動(dòng)機(jī)線圈的電阻R是多少?(g=10m/s2)。
解析:在圖11的物理過程中,電源工作將其他形
式的能轉(zhuǎn)化電能輸入電路,電流通過電機(jī)將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能輸出
由能量守恒定律可得:
EIt=I2Rt+mgvt
解得電動(dòng)機(jī)線圈的電阻R=4Ω.
(十一)用能量守恒解決電磁感應(yīng)中的能量問題
案例11、如圖16(a)所示,傾角為θ=37°,電阻不計(jì),間距L=0.3m,
長度足夠的平行導(dǎo)軌所在處,加有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T,方向垂直于導(dǎo)
軌平面(圖中未畫出)的勻強(qiáng)磁場,導(dǎo)軌兩端各接一個(gè)阻值R=2Ω的
電阻。另一橫跨在平行導(dǎo)軌間的金屬棒質(zhì)量m=1kg,電阻r=2Ω,其與
導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5.金屬棒以平行于導(dǎo)軌向上的初速度
v0=10m/s上滑,直至上升到最高點(diǎn)的過程中,通過上端的電量Δq=0.1C(g=10m/s2,sin370=0.6),求上端電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱熱Q。
命題解讀:本題涉及到外力、重力、安培力、滑動(dòng)摩擦力做功及動(dòng)能、勢能、內(nèi)能的關(guān)系,重點(diǎn)考查電磁感應(yīng)的受力分析與能量關(guān)系。
分析與解:金屬棒以初速度v0向上滑行的過程中克服重力、安培力和摩擦力做功,動(dòng)能分別轉(zhuǎn)化為重力勢能、電能和內(nèi)能。從電路構(gòu)成可知導(dǎo)軌上、下
端電阻發(fā)出的熱量相等,由焦耳定律可求出金屬棒發(fā)熱是R發(fā)熱
的四倍。由電磁感應(yīng)定律可得△q=△φ/R,可求出金屬棒掃過的面
積和沿導(dǎo)軌上滑的距離。由電流定義式和并聯(lián)電路規(guī)律,閉合電路
歐姆定律和電磁感應(yīng)定律,可得
2△q=I△t=E△t/R=△φ/R總
所以△φ=2△qR總=0.6Wb
由磁通量定義,可得△S=△φ/B=0.6m2
金屬棒沿導(dǎo)軌上滑的距離L0為L0=△S/L=2m
金屬棒沿導(dǎo)軌上滑的受力如圖16(b)所示。金屬棒所受各力中安培力是變力,其做負(fù)功使機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能,進(jìn)而變?yōu)閮?nèi)能。由能量守恒定律可得
Q總=mv02/2-mgLsinθ-μmgLcosθ=30J。
則上端電阻發(fā)熱量Q=Q總/6=5J
變式訓(xùn)練:
如圖17所示間距為L的光滑平行金屬導(dǎo)軌,水平地放置在
豎直方向的磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中,一端接阻值是R的電
阻。一電阻是R0,質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒放置在導(dǎo)軌上,在外力F
作用下從t=0的時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng),其速度隨時(shí)間的變化規(guī)律
v=vmsinωt,不計(jì)導(dǎo)軌電阻。求:
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(1)從t=0到t=2π/ω時(shí)間內(nèi)電阻R產(chǎn)生的熱量。
(2)從t=0到t=π/2ω時(shí)間內(nèi)外力F所做的功。
解析:(1)導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢e=BLvmsinωt是正弦交流電, 其有效值:E?Em
2?BLvm
2
在△t=2π/ω=T的時(shí)間內(nèi),電阻R上產(chǎn)生的熱量為:
Q=I2RT=πRB2L2vm/ω(R+R0)2
(2)t=0到t=π/2ω時(shí)間是1/4,在這段時(shí)間內(nèi)對導(dǎo)體棒運(yùn)用能量守恒定律有:
W外=mvm2/2 +Q′,Q′是這段時(shí)間內(nèi)電阻R和R0產(chǎn)生的熱量
Q′= E2/(R+R0)·π/2ω=πB2L2vm2/4ω(R+R0)
所示這段時(shí)間內(nèi)外力所做的功是:
W外=mvm2/2 + πB2L2vm2/4ω(R+R0)
[誤區(qū)分析]
誤區(qū)一、誤認(rèn)為彈力對物體所做的功等于系統(tǒng)機(jī)械能的變化,忽視功能關(guān)系的概念。 典型案例1、如圖所示,質(zhì)量m=2kg的物體,從光
滑斜面的頂端A點(diǎn)以v0=5m/s的初速度滑下,在D點(diǎn)與彈
簧接觸并將彈簧壓縮到B點(diǎn)時(shí)的速度為零,已知從A到B
的豎直高度h=5m,求彈簧的彈力對物體所做的功。
錯(cuò)誤解法:W=mgh+12mv0 2
應(yīng)對辦法:如果物體只受重力和彈力作用,或只有重力或彈力做功時(shí),滿足機(jī)械能守恒定律。如果求彈力這個(gè)變力做的功,可用機(jī)械能守恒定律先求解勢能的變化,再根據(jù)彈力做功與彈性勢能的關(guān)系求解彈力做的功。
走出誤區(qū):解法一 由于斜面光滑故機(jī)械能守恒,但彈簧的彈力是變力,彈力對物體做負(fù)功,彈簧的彈性勢能增加,且彈力做的功的數(shù)值與彈性勢能的增加量相等。
取B所在水平面為零參考面,彈簧原長處D 點(diǎn)為彈性勢能的零參考點(diǎn),則:
系統(tǒng)機(jī)械守恒:mgh+12mv0=Ep+0 2
12mv0)= -125J 2
12mv0 2彈力做功:W彈力= 0-EP 解得: W彈簧= -(mgh+解法二 根據(jù)動(dòng)能定理:mgh?W?0?
解得:W彈簧= -(mgh+12mv0)= -125J 2
誤區(qū)二:誤認(rèn)為“桿的彈力方向”與“繩的彈力方向”都與桿或繩子垂直,都不做功,每個(gè)物體的機(jī)械能都守恒,忽視
彈力做功的特點(diǎn)。
典型案例2、如圖所示,在長為l的輕桿中點(diǎn)A和端點(diǎn)
B各固定一質(zhì)量均為m的小球,桿可繞無摩擦的軸O轉(zhuǎn)動(dòng),
使桿從水平位置無初速釋放擺下。求當(dāng)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí),
輕桿對A、B兩球分別做了多少功?
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錯(cuò)誤解法:由于桿的彈力總垂直于小球的運(yùn)動(dòng)方向,所以輕桿對A、B兩球均不做功。WA?WB?0
應(yīng)對辦法:繩的彈力是一定沿繩的方向的,而桿的彈力不一定沿桿的方向。所以當(dāng)物體的速度與桿垂直時(shí),桿的彈力對一個(gè)物體做正功,對另一個(gè)物體做負(fù)功,這一對作用力與反作用力做功的代數(shù)和為零,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。
走出誤區(qū):設(shè)當(dāng)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí),A球和B球的速度分別為vA和vB。如果把輕桿、地球、兩個(gè)小球構(gòu)成的系統(tǒng)作為研究對象,那么由于桿和小球的相互作用力做功總和等于零,故系統(tǒng)機(jī)械能守恒。若取B的最低點(diǎn)為零重力勢能參考平面,可得:
2mgl=12121mvA?mvB?mgL 222
又因A球?qū)球在各個(gè)時(shí)刻對應(yīng)的角速度相同,故vB=2vA 由以上二式得:vA?3glgl ,vB?55
根據(jù)動(dòng)能定理,可解出桿對A、B做的功。對于A有
l12=mvA -0 22
所以WA=-0.2mgl
12對于B有WB+mgi=mvB?0,所以WB=0.2mgl 2WA+mg
誤區(qū)三、誤認(rèn)為始末狀態(tài)機(jī)械能守恒成立,忽視物體做圓周運(yùn)動(dòng)的過程特點(diǎn)。
典型案例3、如圖所示,一細(xì)繩的上端固定在天花板上靠近墻壁的O點(diǎn),下端拴一小球,L點(diǎn)是小球下垂時(shí)的平衡位置,Q點(diǎn)代表一固定在墻上的細(xì)長釘子,位于OL直線上,N點(diǎn)在Q點(diǎn)正上方,且QN=QL,M點(diǎn)與Q點(diǎn)等高?,F(xiàn)將小球從豎直位置(保持繩繃直)拉開到與N等高的P點(diǎn),釋放后任其向L擺動(dòng),運(yùn)動(dòng)過程中空氣阻力可忽略不計(jì),小球到達(dá)L后。因細(xì)繩被長釘擋住,將開始沿以Q為中心的圓弧繼續(xù)運(yùn)動(dòng),在此以后( )
A.小球向右擺到M點(diǎn),然后就擺回來
B.小球沿圓弧擺到N點(diǎn),然后豎直下落
C.小球?qū)⒗@Q點(diǎn)旋轉(zhuǎn),直線細(xì)繩完全纏繞在釘子上為止
D.以上說法都不正確
錯(cuò)誤解法:因?yàn)槿讨挥兄亓ψ龉Γ瑱C(jī)械能一定守恒,從P到N
運(yùn)用機(jī)械能守恒定律,P點(diǎn)機(jī)械能為零,N點(diǎn)的機(jī)械能必為零,
所以B正確。 圖7 應(yīng)對辦法:對于豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問題,首先應(yīng)該考慮圓周運(yùn)
動(dòng)的臨界條件,然后再考慮機(jī)械能守恒定律。運(yùn)用機(jī)械能守恒定律常用關(guān)系:
Ek???EP。
走出誤區(qū):從P到M,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得:mgR?
夠通過M點(diǎn)繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)。A錯(cuò)誤。
2vN設(shè)QN=QL=R若使小球能夠做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)N點(diǎn),至少有mg?m vN?Rg
R12mvM vM>0 可見小球能2
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根據(jù)機(jī)械能守恒定律,選取PN水平面勢能為零。mghPN?
點(diǎn)的相對高度hPN?12mvN?0 要求PN兩21R 小球不可能到達(dá)N點(diǎn)。B錯(cuò)誤。 2
由上面的分析知道,小球只能在MN之間的某位置斜拋出去,C錯(cuò)誤。
正確答案:D
誤區(qū)四、誤認(rèn)為摩擦產(chǎn)生的熱量就等于物體動(dòng)能的增加,混淆能量的轉(zhuǎn)化與守恒定律。 典型案例4、如圖所示,傳送帶以v的初速度勻速運(yùn)動(dòng)。將質(zhì)量為m的物體無初速度放在傳送帶上的A端,物體將被傳送帶帶到B端,已知物體到達(dá)B端之前已和傳送帶相對靜止,電動(dòng)機(jī)的內(nèi)阻不可忽略。則下列說法正確的是( )
1m?2 212B.傳送帶克服摩擦做功m? 212C.電動(dòng)機(jī)消耗的電能為m? 2A.傳送帶對物體做功為D.在傳送物體過程產(chǎn)生的熱量為 1m?2 2
錯(cuò)誤理解:兩物體的相對位移就等于物體的對地位移,根據(jù)動(dòng)能定理系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量就是物體動(dòng)能的增加。D正確。
應(yīng)對辦法:這種解法結(jié)果雖然碰對了,但是理解卻是完全錯(cuò)誤的。首先能量守恒是對系統(tǒng)而言的,其次上述觀點(diǎn)不符合能的轉(zhuǎn)化及守恒定律。摩擦力對物體做了正功,物體的動(dòng)能增加了,而物體的內(nèi)能卻也應(yīng)該增加了,顯然不符合能量轉(zhuǎn)化及守恒定律。系統(tǒng)摩擦發(fā)熱產(chǎn)生的內(nèi)能Q?Ffs相對,滑動(dòng)摩擦力對系統(tǒng)做功是阻力做功才損失機(jī)械能,增加內(nèi)能。
分析與解:物體先加速后勻速,在加速過程中滑動(dòng)摩擦力對物體做功,使物體的動(dòng)能增v12t,皮加,由動(dòng)能定理知傳送帶對物體做功為m?,A正確。物體移動(dòng)的位移是s1?22
帶移動(dòng)的位移是s2?vt?2s1,根據(jù)功的定義,傳送帶克服摩擦做功應(yīng)為mv,B錯(cuò)誤。由能量守恒定律知電機(jī)消耗的電能就是IRt?
產(chǎn)生的內(nèi)能Q=?mg?s??mgs1?2212mv,C錯(cuò)誤。由能量守恒定律滑動(dòng)摩擦21mv2,D正確。 2
正確答案:AD
誤區(qū)五:誤認(rèn)為全過程機(jī)械能都守恒,忽視機(jī)械能的瞬時(shí)損失。
典型案例5、一質(zhì)量為m的小球,系于長為R的輕繩的一端,繩
的另一端固定在空間的O點(diǎn),假定繩是不可伸長的、柔軟且無彈性的。
今把小球從O點(diǎn)的正上方離O點(diǎn)的距離為
8R的O1點(diǎn)以水平的速度9
圖9 v0?3gR拋出,如圖9所示。試求 4(1)輕繩剛伸直時(shí),繩與豎直方向的夾角為多少?
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由機(jī)械能守恒定律得:
m1gR?m2g2R?
解得:v1?1?m1?m2?v12 22m1gR?m2g2 m1?m2應(yīng)對辦法:物體運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)的速度圖如圖13所示,由此可知兩物體的速度大小并不相等。而兩物體沿著繩子的速度分量相等。即m1沿著繩子的速度分量等于m2的速度。 走出誤區(qū):⑴設(shè)m1運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度為v1,此時(shí)m2的速度為v2,
速度分解如圖,得:v2=v1sin45°
由m1與m2組成系統(tǒng),機(jī)械能守恒,有 112m1gR?m2g2R?m1v12?mv2
22
由上述兩式求得?1?v2 圖13 ⑵ 斷繩后m1
做平拋運(yùn)動(dòng)t1? s = v1t ?解得:s=4
⑶ m1能到達(dá)A點(diǎn)滿足條件v1≥0
又?1?
解得:m1?2 誤區(qū)七、誤認(rèn)為兩物體豎直高度變化相同,混淆半徑的的變化與高度的變化不等
典型案例7、半徑為R的光滑圓柱體固定在地面上,兩質(zhì)量分別是M和m的小球用細(xì)線連接,正好處于水平直徑的兩端,如圖所示。從此位置釋放小球,當(dāng)m運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),對球的壓力恰好為零,求此時(shí)M的速度和兩小球的質(zhì)量之比。
錯(cuò)誤解法:M下降的高度與m升高的高度相等都是R 根據(jù)機(jī)械能守恒定律得: 1(M?m)gR?(M?m)v2 2
v2
m在最高點(diǎn)時(shí),mg?m R
解得:
M3? m1
應(yīng)對辦法:作出兩小球運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的圖景,由于繩長不變,所以M下降
走出誤區(qū):對系統(tǒng)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律
第 19 頁 共 29 頁 ?R,m上升R。 4
Mg11?R?mgR?(M?m)v2 42
v2
m在最高點(diǎn)時(shí),mg?m R
聯(lián)立解得:M3? m??1
誤區(qū)八、誤認(rèn)為整個(gè)鐵鏈子的動(dòng)能變化是初始位置的重力做功引起的。忽視“重力”是變力。
典型案例8、 如圖所示,在光滑水平桌面上,用手拉住長為L質(zhì)量為M的鐵鏈,使其1/3垂在桌邊。松手后,鐵鏈從桌邊滑下,求鐵鏈末端經(jīng)過桌邊時(shí)運(yùn)動(dòng)速度是過少?
錯(cuò)誤解法:根據(jù)動(dòng)能定理,系統(tǒng)動(dòng)能的變化是由于下垂直垂1/3部分做功引起。根據(jù)動(dòng)能定理:
1?LL?12mg????mv 3?26?2
解得:v?12gL 6
走出誤區(qū):動(dòng)能定理不是物理上的萬能公式。本題中鐵鏈子在桌面上運(yùn)動(dòng)的過程中的下垂部分重力時(shí)刻變化,屬于變質(zhì)量、變重力問題。這個(gè)變重力做功我們還不能直接求解。這類問題只能運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解決。
松手后,鐵鏈在運(yùn)動(dòng)過程中,受重力和桌面的支持力,支持力的方向與運(yùn)動(dòng)方向垂直,對鐵鏈不做功,即這一過程中,只是垂在桌外部分的重力做功。因此,從松手到鐵鏈離開桌邊,鐵鏈的機(jī)械能守恒。以桌面為重力勢能參考面 11m,其重心在桌面下L處 36
111此時(shí)鐵鏈的重力勢能為:-mgL=-mgL 3618松手時(shí),桌外部分的質(zhì)量為
鐵鏈末端剛離桌面時(shí),整條鐵鏈都在空中,其重心在桌面下
此時(shí)鐵鏈的重力勢能為:-1L處 21mgL 2
設(shè)此時(shí)鐵鏈的速度為v,由機(jī)械能守恒定律有:
111mgL??mgL?mv2 1822
解得:v?22gL 3
22gL 3故鐵鏈末端經(jīng)過桌邊時(shí),鐵鏈的運(yùn)動(dòng)速度是v?
第 20 頁 共 29 頁
[專題專練]
一、選擇題(共10小題,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有的小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確,有的小題有多個(gè)選項(xiàng)正確。全部選對的得4分,選不全的得2分,有選錯(cuò)的或不答的得0分)
1.一物體在豎直平面內(nèi)做圓勻速周運(yùn)動(dòng),下列物理量一定不會(huì)發(fā)生變化的是( )
A.向心力 B.向心加速度 C.動(dòng)能 D.機(jī)械能
2.行駛中的汽車制動(dòng)后滑行一段距離,最后停下;流星在夜空中墜落并發(fā)出明亮的光焰;降落傘在空中勻速下降;條形磁鐵在下落過程中穿過閉線圈,線圈中產(chǎn)生電流,上述不同現(xiàn)象中所包含的相同的物理過程是( )
A.物體克服阻力做功
B.物體的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量
C.物體的勢能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量
D.物體的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量
3.一吊車吊物體勻加速上升,則( )
A.吊車對物體所做的功等于機(jī)械能的增量
B.繩的拉力與重力的合力對物體所做的功等于動(dòng)能的增量
C.物體克服重力做功等于系統(tǒng)勢能的增量 F D.繩的拉力與重力的合力對物體所做的功等于物體勢能的增量
4.一塊質(zhì)量為m的木塊放在地面上,用一根彈簧連著木塊,如圖所示。用恒力F
拉彈簧,使木塊離開地面,如果力F的作用點(diǎn)向上移動(dòng)的距離為h,則( )
m A.木塊的重力勢能增加了Fh B.木塊的機(jī)械能增加了Fh
C.拉力所做的功為Fh D.木塊的動(dòng)能增加Fh
5.一個(gè)質(zhì)量為m的物體,以a=2g的加速度豎直向下運(yùn)動(dòng),則在此物體下降h高度
過程中,物體的( )
A.重力勢能減少了2mgh B.動(dòng)能增加了2mgh
C.機(jī)械能保持不變 D.機(jī)械能增加了mgh
6.物體做自由落體運(yùn)動(dòng), Ek代表動(dòng)能,Ep代表勢能,h代表下落的距離,以水平地面為零勢能面。下列所示圖像中,能正確反映各物理量之間的關(guān)系的是 ( )
7.質(zhì)量為m的物體靜止在粗糙的水平地面上,若物體受水平力F的作用從靜止開始通過位移時(shí)的動(dòng)能為E1,當(dāng)物體受水平力2F作用,從靜止開始通過相同位移,它的動(dòng)能為E2,則( )
A.E2=E1 B. E2=2E1 C. E2>2E1 D. E1<E2<2E1
8.如圖所示,傳送帶以?0的初速度勻速運(yùn)動(dòng)。將質(zhì)量為
m的物體無初速度放在傳送帶上的A端,物體將被傳送帶帶
到B端,已知物體到達(dá)B
端之間已和傳送帶相對靜止,則下第 21 頁 共 29 頁
列說法正確的是( )
1m?2 212B.傳送帶克服摩擦做功m? 2A.傳送帶對物體做功為C.電動(dòng)機(jī)由于傳送物體多消耗的能量為D.在傳送物體過程產(chǎn)生的熱量為1m?2 21m?2 2
9.利用傳感器和計(jì)算機(jī)可以測量快速變化的力的瞬時(shí)值。如圖中的右圖是用這種方法獲得的彈性繩中拉力隨時(shí)間的變化圖線。實(shí)驗(yàn)時(shí),把小球舉高
到繩子的懸點(diǎn)O處,然后放手讓小球自由下落。 由此圖線所
提供的信息,以下判斷正確的是( )
A.t2時(shí)刻小球速度最大
B.t1~t2期間小球速度先增大后減小
C.t3時(shí)刻小球動(dòng)能最小
D.t1與t4時(shí)刻小球速度一定相同
10.如圖所示,斜面置于光滑水平地面上,其光滑斜面上有一物體由靜止沿斜面下滑,在物體下滑過程中,下列說法正確的是 ( )
A. 物體的重力勢能減少,動(dòng)能增加
B. 斜面的機(jī)械能不變
C.斜面對物體的作用力垂直于接觸面,不對物體做功
D.物體和斜面組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
11.如圖所示,粗糙的水平面上固定一個(gè)點(diǎn)電荷Q,在M點(diǎn)無初速度是放一帶有恒定電量的小物塊,小物塊在Q的電場中運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)靜止。則從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程中( )
A.小物塊所受的電場力逐漸減小
B.小物塊具有的電勢能逐漸增大
C.M點(diǎn)的電勢一定高于N點(diǎn)的電勢
D.小物塊電勢能變化量的大小一定等于克服摩擦力做的功
12.如圖所示,在豎直平面內(nèi)有一半徑為1m的半圓形軌道,質(zhì)量為
2kg的物體自與圓心O等高的A點(diǎn)由靜止開始滑下,通過最低點(diǎn)B時(shí)
的速度為3m/s,物體自A至B的過程中所受的平均摩擦力為( )
A.0N B.7N C.14N D.28N
13.2008年9月25日至28日我國成功實(shí)施了“神舟”七號(hào)載入航天飛行并實(shí)現(xiàn)了航天員首次出艙。飛船先沿橢圓軌道飛行,后在遠(yuǎn)地點(diǎn)343千米處點(diǎn)火加速,由橢圓軌道變成高度為343千米的圓軌道,在此圓軌道上飛船運(yùn)行周期約為90分鐘。下列判斷正確的是
A.飛船變軌前后的機(jī)械能相等
B.飛船在圓軌道上時(shí)航天員出艙前后都處于失重狀態(tài) C.飛船在此圓軌道上運(yùn)動(dòng)的角度速度大于同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的角速度
D.飛船變軌前通過橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的加速度大于變軌后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的加速度
第 22 頁 共 29 頁
二、填空題(共2小題,共18分,把答案填在題中的橫線上)
14 某一在離地面10m的高處把一質(zhì)量為2kg的小球以10m/s的速率拋出,小球著地時(shí)
2的速率為15m/s。g取10m/s, 人拋球時(shí)對球做功是 J,球在運(yùn)動(dòng)中克服空氣阻力做
功是 J
15. 質(zhì)量m=1.5kg的物塊在水平恒力F作用下,從水平面上A點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)一段距離撤去該力,物塊繼續(xù)滑行t=2.0s停在B點(diǎn),已知A、B兩點(diǎn)間的距離s=5.0m,物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.20,恒力F等于 (物塊視為質(zhì)點(diǎn)g取10m/s2).
三、實(shí)驗(yàn)探究題
16.探究力對原來靜止的物體做的功與物體獲得的速度的關(guān)系,試驗(yàn)裝置如圖所示,試驗(yàn)主要過程如下:
(1)設(shè)法讓橡皮筋對小車做的功分別為W、2W、3W…
(2)分析打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出的紙帶,求出小車的速度v1、v2、v3、…;
(3)做出W-v草圖;
(4)分析W-v圖像。如果W-v圖像是一條
直線,表明W∝v;如果不是直線,可考慮
是否存在W∝v、W∝v 、W
等
關(guān)系。
以下關(guān)于該實(shí)驗(yàn)的說法中有一項(xiàng)不正確,它
是 。
A 本實(shí)驗(yàn)設(shè)法讓橡皮筋對小車做的功分別為W、2W、3W…。所采用的方法是選用同樣的橡皮筋,并在每次實(shí)驗(yàn)中使橡皮筋拉伸的長度保持一致。當(dāng)用1條橡皮筋進(jìn)行實(shí)驗(yàn)室,橡皮筋對小車做的功為W,用2條、3條、…。橡皮筋并在一起進(jìn)行第2次、第3次、…。實(shí)驗(yàn)時(shí),橡皮筋對小車做的功分別是2W、3W…。
B 小車運(yùn)動(dòng)中會(huì)受到阻力,補(bǔ)償?shù)姆椒ǎ梢允鼓景暹m當(dāng)傾斜。
C 某同學(xué)在一次實(shí)驗(yàn)中,得到一條記錄紙帶。紙帶上打出的點(diǎn),兩端密、中間疏。出現(xiàn)這種情況的原因,可能是沒有使木板傾斜或傾角太小。
D 根據(jù)記錄紙帶上打出的點(diǎn),求小車獲得的速度的方法,是以紙帶上第一點(diǎn)到最后一點(diǎn)的距離來進(jìn)行計(jì)算。
四、論述計(jì)算題(共6小題,共92分,解答下列各題時(shí),應(yīng)寫出必要的文字說明、表達(dá)式和重要步驟。只寫最后答案的不得分。有數(shù)值計(jì)算的題,答案中必須明確寫出數(shù)值和單位。)
17. 某市規(guī)定:卡車在市區(qū)內(nèi)行駛速度不得超過40km/h,一次一輛卡車在市區(qū)路面緊急剎車后,量得剎車痕跡s=18m,假設(shè)車輪與路面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為0.4。問這輛車是否違章?試通過計(jì)算預(yù)以證明。
18
.如圖所示,在光滑的平臺(tái)上,有一質(zhì)量為23
第 23 頁 共 29 頁
22.某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽。比賽路徑如圖所示,賽車從起點(diǎn)A出發(fā),沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)L后,由B點(diǎn)進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道,離開豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),并能越過壕溝。已知賽車質(zhì)量m=0.1kg,通電后以額定功率P=1.5w工作,進(jìn)入豎直軌道前受到阻力恒為0.3N,隨后在運(yùn)動(dòng)中受到的阻力均可不記。圖中L=10.00m,R=0.32m,h=1.25m,S=1.50m。問:要使賽車完成比賽,電動(dòng)機(jī)至少工作多長時(shí)間?(取g=10m/s2)
23.如圖所示,質(zhì)量為m的小球,由長為l的細(xì)線系住,細(xì)線的另一端固定在A點(diǎn),AB是過A的豎直線,E為AB上的一點(diǎn),且AE=0.5l,過E作水平線EF,在EF上釘鐵釘D,若線能承受的最大拉力是9mg,現(xiàn)將小球拉直水平,然后由靜止釋放,若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),求釘子位置在水平線上的取值范圍。不計(jì)線與釘子碰撞時(shí)的能量損失。
m
[參考答案]
第 25 頁 共 29 頁
1.D 2.AD 3.AB 4.BC 5.BD 6.B 7. C 8.AD 9.B 10.AD 11.AD 12.B 13.BC
13.解析:飛船點(diǎn)火變軌,前后的機(jī)械能不守恒,所以A不正確。飛船在圓軌道上時(shí)萬有引力來提供向心力,航天員出艙前后都處于失重狀態(tài),B正確。飛船在此圓軌道上運(yùn)動(dòng)的周期90分鐘小于同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期24小時(shí),根據(jù)T?
2?
可知,飛船在此圓軌道上運(yùn)
動(dòng)的角度速度大于同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的角速度,C正確。飛船變軌前通過橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)只有萬有引力來提供加速度,變軌后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)也是只有萬有引力來提供加速度,所以相等,D不正確。
考點(diǎn):機(jī)械能守恒定律,完全失重,萬有引力定律
提示:若物體除了重力、彈性力做功以外,還有其他力(非重力、彈性力)不做功,且其他力做功之和不為零,則機(jī)械能不守恒。
根據(jù)萬有引力等于衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力可求衛(wèi)星的速度、周期、動(dòng)能、動(dòng)量等狀態(tài)
Mm2?2Mmv2)r得T?2量。由G2?
m得v?,由G2?
m(,由
rTrrG
MmMm2
m?rG?man可求向心加速度。 得,??r2r214.100J 75J 15. 15N 16.答案:I.23.0mA,0.57V,320Ω II.(1)3,0.6,1,0~10(2)電壓表的分流 III答案:D。
17.解:設(shè)卡車運(yùn)動(dòng)的速度為v0,剎車后至停止運(yùn)動(dòng),由動(dòng)能定理:-μmgs=0-得v=2gs?
12mv0。2
2?0.4?10?18=12m/s=43.2km/h。因?yàn)関0>v規(guī),所以該卡車違章了。
18.解:當(dāng)人向右勻速前進(jìn)的過程中,繩子與豎直 方向的夾角由0°逐漸增大,人的拉力就發(fā)生了變化, 故無法用W=Fscosθ計(jì)算拉力所做的功,而在這個(gè)過
化,故可以用動(dòng)能定理來計(jì)算拉力做的功。 當(dāng)人在滑輪的正下方時(shí),物體的初速度為零, 當(dāng)人水平向右勻速前進(jìn)s 時(shí)物體的速度為v1 ,由圖 1可知: v1= v0sina
⑴根據(jù)動(dòng)能定理,人的拉力對物體所做的功 W=m v12/2-0
⑵由⑴、⑵兩式得W=ms2 v12/2(s2+h2)
19.解:(1)對AB段應(yīng)用動(dòng)能定理:mgR+Wf=
圖1
12
mvB 2
第 26 頁 共 29 頁
112?3mvB-mgR=?20?10?9-20×10-3×10×1=-0.11J 22
112?3
(2)對BC段應(yīng)用動(dòng)能定理:Wf=0-mvB=-?20?10?9=-0.09J。又因Wf=μ
22
所以:Wf=
mgBCcos1800=-0.09,得:μ=0.153。
20.解:在此過程中,B的重力勢能的增量為mBgh,A、B動(dòng)能增量為
1
(mA?mB)v2,2
恒力F所做的功為Fh,用W表示A克服摩擦力所做的功,根據(jù)功能關(guān)系有:
1
mA?mB?v2?mBgh 2
12
解得:W?Fh??mA?mB?v?mBgh
2Fh?W?
21.解:(1)兒童從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)的過程中,重力做功W=mgh 兒童由靜止開始滑下最后停在E點(diǎn),在整個(gè)過程中克服摩擦力做功W1,由動(dòng)能定理得,
mgh?W1=0,則克服摩擦力做功為W1=mgh
(2)設(shè)斜槽AB與水平面的夾角為?,兒童在斜槽上受重力mg、支持力N1和滑動(dòng)摩擦
力f1,f1??mgcos?,兒童在水平槽上受重力mg、支持力N2和滑動(dòng)摩擦力f2,
f2??mg,兒童從A點(diǎn)由靜止滑下,最后停在E點(diǎn).
由動(dòng)能定理得,mgh??mgcos??解得L?h,它與角?無關(guān).
(3)兒童沿滑梯滑下的過程中,通過B點(diǎn)的速度最大,顯然,傾角?越大,通過B點(diǎn)的速度越大,設(shè)傾角為?0時(shí)有最大速度v,由動(dòng)能定理得,
h
mg(L?hcot?)?0 sin?
mgh??mgcos?0?
h1
mv2 sin?02
2gh?v2
解得最大傾角?0?arc)
2?gh
22.解析:本題考查平拋、圓周運(yùn)動(dòng)和功能關(guān)系。 設(shè)賽車越過壕溝需要的最小速度為v1,由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律
S?v1t
h?
12gt
2
解得v1??3m/s 第 27 頁 共 29 頁
設(shè)賽車恰好越過圓軌道,對應(yīng)圓軌道最高點(diǎn)的速度為v2,最低點(diǎn)的速度為v3,由牛頓第二定律及機(jī)械能守恒定律
2v2
mg?m
R
1212
mv3?mv2?mg?2R? 22
解得v3?5gh?4m/s
通過分析比較,賽車要完成比賽,在進(jìn)入圓軌道前的速度最小應(yīng)該是
vmin?4m/s
設(shè)電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間至少為t,根據(jù)功能原理
Pt?fL?
12
mvmin 2
由此可得t=2.53s
23.解:這是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)與機(jī)械能兩部分知識(shí)綜合應(yīng)用的典型問題。題中涉及兩個(gè)臨界條件:一是線承受的最大拉力不大于9mg;另一個(gè)是在圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)的瞬時(shí)速度必須不小于gr(r是做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑)。 設(shè)在D點(diǎn)繩剛好承受最大拉力,設(shè)DE=x,則:
l
AD?x2?()2
2
懸線碰到釘子后,繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為:
l
r?l?AD?l?x2?()2 ①
2
當(dāng)小球落到D點(diǎn)正下方時(shí),繩受到的最大拉力為F,此時(shí)小球的速度v,由牛頓第二定律有:
mv2
F?mg?
r
結(jié)合F?9mg可得
mv2
8mg ② r
由機(jī)械能守恒定律得:mg(
2
l1
r)?mv2 22
即: v?2g(?r) ③
l2
第 28 頁 共 29 頁
由①②③式聯(lián)立解得:x?
2l 3
隨著x的減小,即釘子左移,繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越來越大。轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的臨界速度gr也越來越大,但根據(jù)機(jī)械能守恒定律,半徑r約大,轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的瞬時(shí)速度越小,當(dāng)這個(gè)瞬時(shí)速度小于臨界速度時(shí),小球就不能到達(dá)圓的最高點(diǎn)了。
設(shè)釘子在G點(diǎn)小球剛能繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓的最高點(diǎn),設(shè)EG=x’ 如圖解,則
AG?x'2?(l
2
)2
r'?l?AG?l?x'2?(l
2
)2 2
在最高點(diǎn): mg?mv'
r' 由機(jī)械能守恒定律得:mg(l2?r')?12
2
mv' 由④⑤⑥聯(lián)立得x'?
76
l 在水平線上EF上釘子的位置范圍是:
76l?x'?23
l
第 29 頁 共 29 頁
④
m
⑤
⑥
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