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（答案在相應(yīng)的“適合三個(gè)年級(jí)上學(xué)期的尖子生培優(yōu)系列”文章中）

系列（6）：

（1）如圖(1),已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD CE．

（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論DE=BD CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）拓展與應(yīng)用：如圖(3),D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E互不重合），F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．

系列（7）：

如圖，△ABC中，AB=AC，BC=6，AB=5，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；
（2）如圖②，過點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（試題來(lái)源于魔方數(shù)學(xué)群）

系列（8）：

（1）如圖①，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)A、B分別在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)　  ；

（2）如圖②，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0），點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以OB、AB為邊在第一、第二象限作等腰直角△OBF，等腰直角△ABE，連接EF交y軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)B在y軸的正半軸上移動(dòng)時(shí)，PB的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？若不變，求出PB的值．若變化，求PB的取值范圍．(試題來(lái)源于魔方數(shù)學(xué)群)

系列（9）：

△ABC中，AB邊上的高為4，BC邊上的高為6，則AC邊上的高h的取值范圍為         .（試題來(lái)源于魔方數(shù)學(xué)群）

系列（10）：

已知，在四邊形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．

（1）∠ABC ∠ADC= （用含x、y的代數(shù)式直接填空）；

（2）如圖1，若x=y=90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角．若x y=120°，∠DFB=20°，試求x、y．

    （試題來(lái)源于魔方數(shù)學(xué)群）

系列（11）：

如圖1，一張△ABC紙片，點(diǎn)M、N分別是AC、BC上兩點(diǎn)．

（1）若沿直線MN折疊，使C點(diǎn)落在BN上，則∠AMC′與∠ACB的數(shù)量關(guān)系是　       寫出結(jié)論即可）．

（2）若折成圖2的形狀，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（3）若折成圖3的形狀，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（4）將上述問題推廣，如圖4，將四邊形ABCD紙片沿MN折疊，使點(diǎn)C、D落在四邊形ABNM的內(nèi)部時(shí)，∠AMD′ ∠BNC′與∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系是        （寫出結(jié)論即可）．

系列（12）：

在等邊△ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長(zhǎng)為6，AE=2，求CD的長(zhǎng)．

系列（13）：

在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過點(diǎn)A且MN∥BC，過點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點(diǎn)D在直線MN上（不與點(diǎn)A重合），如圖1，DE與AC交于點(diǎn)P．

（1）求證：BD=DP；

（2）在圖2中，DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在圖3中，DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

系列（14）：

如圖，在△ABC和△EFP中，邊BC和FP在同一直線上，∠ACB＝∠EFP＝90⁰，AC＝BC＝EF＝FP，直線EP與直線AC交于點(diǎn)Q.

（1）判斷AP與BQ的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）將△EFP沿直線BC左右平移時(shí)，畫出對(duì)應(yīng)的圖形，并判斷（1）的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

系列（16）：

（30⁰的角的性質(zhì)應(yīng)用）

（1）如圖1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，垂足為E，當(dāng)BD=5cm，∠B=30°時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)=．

（2）如圖2所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，那么BE：EA=   ．

（3）如圖3所示，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于點(diǎn)P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB與PQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：

①如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°，

則BECF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件　          ，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立．

（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢?/span>EF，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．