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小數(shù)老師說

我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，其實(shí)就學(xué)了兩個(gè)東西。一個(gè)是數(shù)學(xué)知識(shí)，一個(gè)是數(shù)學(xué)方法。我們考數(shù)學(xué)，其實(shí)就是在考不同題型下，利用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法把你學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)組合起來解決不同的數(shù)學(xué)問題。所以，學(xué)好數(shù)學(xué)有三點(diǎn)：學(xué)習(xí)知識(shí)，把握題型，提取方法。

本文的核心思想：不同題型對(duì)應(yīng)不同方法。學(xué)數(shù)學(xué)就是一個(gè)歸納出題類型和解題方法的過程。

那么，什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)的屬性是工具，解決科學(xué)以及工程問題的學(xué)科。數(shù)學(xué)的核心是思想，比如有些時(shí)候需要換元，有些時(shí)候需要數(shù)形結(jié)合。高中數(shù)學(xué)就是先讓你學(xué)一些簡(jiǎn)單的知識(shí)素材，然后通過這些素材考査你數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。

話不多說，直接上干貨！

不管題目是什么，你要明白，關(guān)于解三角形，你只學(xué)了三個(gè)公式：正弦定理、余弦定理和面積公式。

所以，解三角形的題目，求面積的話肯定用面積公式。至于什么時(shí)候用正弦，什么時(shí)候用余弦，如果你不能迅速判斷，都嘗試未嘗不可。

套路：給你一個(gè)比較復(fù)雜的式子，然后問這個(gè)函數(shù)的定義域、值域、周期頻率、單調(diào)性等問題。

解決方法：首先利用“和差倍半”對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)?；?jiǎn)成形式，然后求解需要求的。（圖片可點(diǎn)擊放大，下同）

掌握以上公式，足夠了。關(guān)于題型見下圖。

我總感覺，這塊沒啥可說的。因?yàn)榭嫉牟欢喽曳浅Ｈ菀住Ｔ敿?xì)內(nèi)容翻看一下小數(shù)老師歷史推送的文章就夠用了。

這個(gè)題，相比于前面兩個(gè)給分的題，要稍微復(fù)雜一些，可能會(huì)卡住某些人。

這題有2-3問。

第一問：某條線的大小或者證明某個(gè)線/面與另外一個(gè)線/面平行或垂直；

最后一問是求二面角。

這類題解題方法有兩種，傳統(tǒng)法和空間向量法，各有利弊。

優(yōu)點(diǎn)：沒有任何思維含量，肯定能解出最終答案。

缺點(diǎn)：計(jì)算量大，且容易出錯(cuò)。

應(yīng)用空間向量法，首先應(yīng)該建立空間直角坐標(biāo)系。建系結(jié)束后，根據(jù)已知條件可用向量確定每條直線。其形式為。然后進(jìn)行后續(xù)證明與求解。

你們?cè)趯W(xué)立體幾何的時(shí)候，講了很多性質(zhì)定理和判定定理。但是針對(duì)高考立體幾何大題而言，解題方法基本是唯一的，除了6和8有兩種解題方法以外，其他都是有唯一的方法。所以，熟練掌握解題模型，拿到題目直接按照標(biāo)準(zhǔn)解法去求解便可。

另外，還有一類題，是求點(diǎn)到平面距離的。這類題百分之百用等體積法求解。

從這里開始，就明顯感覺題目變難了，但是掌握了套路和方法，這題并不困難。

數(shù)列主要是求解通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和。

首先是通項(xiàng)公式。

看題目中給出的條件的形式。不同形式對(duì)應(yīng)不同的解題方法

通項(xiàng)公式的求法我給出了8種，著重掌握1，4，5，6，7，8。其實(shí)4-8可以算作一種。

除了以上八種方法，還有一種叫定義法，就是題中給出首項(xiàng)和公差或者公比，按照等差等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解。

鑒于高考大題不會(huì)出這么簡(jiǎn)單的，以及即使出了，默認(rèn)大家都會(huì)，我就沒列出這種方法。

下面說說求前n項(xiàng)和。

求前n項(xiàng)和總共四種方法：倒序相加法，錯(cuò)位相減法，分組求和法，裂項(xiàng)相消法。

以后求前n項(xiàng)和，就只需要考慮這四種方法就可以了。

同樣的，每種方法都有對(duì)應(yīng)的使用范圍。

當(dāng)然，還有課本上關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法。在此就不列舉了，請(qǐng)大家不要忘記。

高考對(duì)于圓錐曲線的考察也是有套路可循的。一般套路就是：前半部分是對(duì)基本性質(zhì)的考察，后半部分考察與直線相交。

如果你做高考題做得足夠多的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，后半部分的步驟基本是一致的。即：設(shè)直線，然后將直線方程帶入圓錐曲線，得到一個(gè)關(guān)于x的二次方程，分析判別式，韋達(dá)定理，利用維達(dá)定理的結(jié)果求解待求量。

所以，學(xué)好圓錐曲線需要明白三件事。

在此不列舉，請(qǐng)大家自行總結(jié)。

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法有7種。下面將一一介紹，不過，作為前半部分，求軌跡方程不會(huì)特別難的，如果前面就把學(xué)生卡住了，那后面直接沒法做了。我們幻想，并沒有如此變態(tài)的出題老師。

a）直接法（性質(zhì)法）

這類方法最常見，一般設(shè)置為第一問，題干中給出圓錐曲線的類型，并給出部分性質(zhì)，比如離心率，焦點(diǎn)，端點(diǎn)等，根據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)求解a,b。

b）定義法

定義法的意思呢，就是題目中給出的條件其實(shí)是某種我們學(xué)過的曲線的定義，這種情況下，可以根據(jù)題目描述，確定曲線類型，再根據(jù)曲線的性質(zhì)，確定曲線的參數(shù)。各曲線的定義如下：

到定點(diǎn)的距離為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓；
到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓；
到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡為雙曲線；
到定點(diǎn)與定直線的距離之比為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓錐曲線，根據(jù)比值大小確定是哪一種曲線

c）直譯法

顧名思義，就是直接翻譯題目中的條件。將題目中的文字用數(shù)學(xué)方程表達(dá)出來即可。

d）相關(guān)點(diǎn)法

假如題目中已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡，另外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)與P有關(guān)系，可根據(jù)此關(guān)系，用M的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)，再帶入P的滿足的軌跡方程，化簡(jiǎn)即可得到M的軌跡方程。

e)參數(shù)法

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，可以先找到x、y與另一參數(shù)t的關(guān)系，得再消去參變數(shù)t，得到軌跡方程。

f)交軌法

若題目中給出了兩個(gè)曲線，求曲線交點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，應(yīng)將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程。

g）點(diǎn)差法

只要是中點(diǎn)弦問題，就用點(diǎn)差法。

這題啊，必考。而且每年形式都一樣。

基本長(zhǎng)這樣：有一條直線，與這個(gè)圓錐曲線相交于兩個(gè)點(diǎn)A,B，問巴拉巴拉……我先從理論上說說這道題的解題步驟。

步驟1：先考慮直線斜率不存在的情況。求結(jié)果。（此過程僅需很簡(jiǎn)短的過程）
步驟2：設(shè)直線解析式為（隨機(jī)應(yīng)變，也可設(shè)為兩點(diǎn)式……）
步驟3：一般，所設(shè)直線具有某種特征，根據(jù)其特征，消去上式中k或b中的一個(gè)。
步驟4：聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，得到：
步驟5：求出判別式，令

（先空著，必要時(shí)候再求

時(shí)的取值范圍）
步驟6:利用韋達(dá)定理求出

，

（先空著，必要時(shí)再求

）
步驟7：翻譯題目，利用韋達(dá)定理的結(jié)果求出所求量。

我隨便找一道典型的題，先給大家演示一下萬年不變的步驟。

計(jì)算量最大，最消耗時(shí)間的地方我都是先不算，立上flag，因?yàn)樵诟呖嫉臅r(shí)候，花費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間最多丟兩三分，不太劃算。當(dāng)然，有時(shí)間一定要算啊。

我高考的時(shí)候，這塊知識(shí)還只是求導(dǎo)，據(jù)說后面加了牛頓萊布尼茨公式。所以我不太清楚這塊應(yīng)該如何考察。估計(jì)還是以求導(dǎo)然后分析函數(shù)為主吧。那我就僅說說我知道的。導(dǎo)數(shù)這塊的步驟也是固定的。

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的題型，大體分為三類。

1，關(guān)于單調(diào)性，最值，極值的考察。
2，證明不等式。
3，函數(shù)中含有字母，分類討論字母的取值范圍。

無論是哪種題型，解題的流程只有一個(gè)。如下圖所示。

例題比較簡(jiǎn)單，但是注意兩點(diǎn)：一是任何導(dǎo)數(shù)題的核心步驟都是以上四部，二是時(shí)刻提醒自己定義域。

以上例題屬于第一類題型。

第二類題型，證明不等式。

需要先移項(xiàng)，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，可以使不等號(hào)左邊減去右邊，構(gòu)成的新函數(shù)，利用以上四個(gè)步驟分析新函數(shù)的最值與0的大小關(guān)系，可以得證。此為作差法。

還有一種方法叫作商，即左邊除以右邊，其結(jié)果與1做對(duì)比。不過此方法不建議使用，因?yàn)榉帜赣锌赡転?，或者正負(fù)號(hào)不確定。

還要注意邏輯。如果證明

第三類題型：求字母的取值范圍。

先閉著眼睛當(dāng)成已知數(shù)算，算完以后列表，針對(duì)列表中的結(jié)果進(jìn)行分情況討論。（一般，題目都會(huì)寫明字母不為0）

我并沒有把所有的題型總結(jié)完，我只是提出一個(gè)思路，給一個(gè)示范，大家課下去自行總結(jié)。

最后，重申三點(diǎn)：記住基礎(chǔ)知識(shí)素材，總結(jié)題型，提取解題策略。

能夠在高考時(shí)，一個(gè)小時(shí)做完大題是需要在平時(shí)多練習(xí)的，童鞋們可多練金考卷，模擬題、原創(chuàng)題、專項(xiàng)題、套題，時(shí)間久了，真的達(dá)到了“看到題目，就能在腦海里把所有解題的思路一秒鐘全部出現(xiàn)”。

如何知道所有題其實(shí)都是“套路”，但要在第一時(shí)間知道這是什么套路，就看你平時(shí)所花的功夫了！