運(yùn)算能力的解讀
有幸參加了長(zhǎng)春舉行的《吉林省數(shù)學(xué)教學(xué)大獎(jiǎng)賽》，歷時(shí)兩天的時(shí)間，在這兩天中收獲頗多。接下來(lái)我就結(jié)合這學(xué)期參加的國(guó)培數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況和聽課內(nèi)容，談一下我對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的所感所悟。
一、什么是運(yùn)算能力呢？
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》指出，“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑來(lái)解決問(wèn)題。”這兩句話，實(shí)際上刻畫了運(yùn)算能力的三個(gè)主要表現(xiàn)特征:正確運(yùn)算、理解算理、掌握算法。
運(yùn)算能力的形成可以分成兩個(gè)階段：
第一階段：能夠按照一定的程序與步驟進(jìn)行正確運(yùn)算，稱為運(yùn)算技能。運(yùn)算技能的特征是正確、熟練。
第二階段：不僅會(huì)正確、熟練地進(jìn)行運(yùn)算，而且能根據(jù)題目條件尋求合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑來(lái)解決問(wèn)題，這個(gè)階段方稱之為運(yùn)算能力。
運(yùn)算能力是運(yùn)算技能與邏輯思維等能力的有機(jī)整合，不僅是一種數(shù)學(xué)的操作能力，更是一種數(shù)學(xué)的思維能力。
二、運(yùn)算在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中占有重要的地位，它有著怎樣的歷史淵源呢？
四則運(yùn)算在我國(guó)起源很早，春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法——籌算。后來(lái)，在長(zhǎng)期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明了算盤，算盤是我國(guó)古代一項(xiàng)重要的發(fā)明。
小學(xué)數(shù)學(xué)從它的前身“小學(xué)堂算術(shù)”誕生之日起，就將計(jì)算列為首要的學(xué)習(xí)任務(wù)。清末初等小學(xué)堂學(xué)制五年，以學(xué)習(xí)整數(shù)四則計(jì)算為主，兼及小數(shù)，并授以珠算。然后高等小學(xué)堂學(xué)制四年，學(xué)完“整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除”。
辛亥革命后，學(xué)堂改稱學(xué)校，學(xué)制也有變動(dòng)，但“算術(shù)要旨，在使兒童熟習(xí)日常之計(jì)算”始終沒(méi)變。1912年頒布的《小學(xué)校教則及課程》中明確提出“算術(shù)宜用筆算及珠算，尤宜令熟習(xí)心算”，即出現(xiàn)“三算”：口算、筆算和珠算。1932年頒布的《小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)算術(shù)》中首次出現(xiàn)了“培養(yǎng)兒童解決日常生活問(wèn)題的計(jì)算能力”和“養(yǎng)成兒童計(jì)算敏捷和準(zhǔn)確的習(xí)慣”這兩條課程目標(biāo)。計(jì)算與應(yīng)用在目標(biāo)中是捆綁在一起的,計(jì)算的目的是為了解決問(wèn)題。
新中國(guó)成立后，1952年頒發(fā)的《小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》中提到關(guān)于計(jì)算的兩項(xiàng)目標(biāo)：1、兒童應(yīng)獲得“整數(shù)四則運(yùn)算……口算和筆算的熟練技巧” 2、“解各種整數(shù)應(yīng)用題的技能”,從這個(gè)時(shí)候開始，計(jì)算與解決問(wèn)題“分道揚(yáng)鑣”。
1963年的《全日制小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》中，提出了四大能力：1、“培養(yǎng)學(xué)生正確、迅速的四則計(jì)算能力，2、正確地解答應(yīng)用題的能力，3、具有初步的邏輯推理的能力,四、空間觀念”。由此開始，計(jì)算能力成為小學(xué)算術(shù)“四大能力”之首，對(duì)運(yùn)算的要求也達(dá)到了“頂峰”，如要求“比較熟練地計(jì)算三、四位數(shù)乘除多位數(shù)”。這個(gè)時(shí)期的教學(xué)，為達(dá)成“計(jì)算準(zhǔn)確、迅速，方法合理、靈活”的要求，常常導(dǎo)致大量的、機(jī)械、重復(fù)的訓(xùn)練現(xiàn)象，這種練習(xí)使得孩子們?cè)谑炷苌傻耐瑫r(shí)，也伴隨著熟能生厭現(xiàn)象的存在。這引起了我們的思考，后來(lái)因?yàn)橛?jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，使得數(shù)學(xué)研究依賴單純計(jì)算的可能越來(lái)越小，即便是在日常生活與工作中，計(jì)算也可以由計(jì)算器來(lái)完成。在這種情況下，2001年的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中，提出了六個(gè)核心詞，其中就沒(méi)有了“計(jì)算能力”，取而代之的是“應(yīng)重視口算，加強(qiáng)估算，提倡算法多樣化”，并強(qiáng)調(diào)“避免將運(yùn)算與應(yīng)用割裂開來(lái)”。
十年后，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將核心詞增加至十個(gè)，“計(jì)算能力”改為“運(yùn)算能力”，又回來(lái)了。
三、“運(yùn)算能力”重新回來(lái)的意義是什么呢？
從小學(xué)數(shù)學(xué)課程的實(shí)際來(lái)看，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算始終是學(xué)習(xí)的主線，其他數(shù)學(xué)知識(shí)都必須跟隨這根主線的進(jìn)程而穿插、展開。 例如，平年、閏年的判斷，離不開多位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)算；長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算，需要以乘加運(yùn)算為基礎(chǔ)。否則，判斷法則與計(jì)算公式都無(wú)法掌握、鞏固。過(guò)去如此，現(xiàn)在、將來(lái)還會(huì)如此。
再有，運(yùn)算不僅是數(shù)學(xué)課程中“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”也都與運(yùn)算有著密切的聯(lián)系，是不可或缺的內(nèi)容。
同時(shí)，我們應(yīng)該看到小學(xué)四則運(yùn)算是進(jìn)一步學(xué)習(xí)整式、分式運(yùn)算的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)其他理科知識(shí)不可或缺的基礎(chǔ)。
因此，計(jì)算教學(xué)中“必要的”、而不是“過(guò)剩的”基礎(chǔ)練習(xí)，并達(dá)到一定的技能和技巧是必須的，這一點(diǎn)毋容置疑。
所以，2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，“運(yùn)算能力”的回歸，是一種必然的趨勢(shì)。
四、運(yùn)算和計(jì)算所表達(dá)的意思一樣嗎？
在數(shù)學(xué)中，運(yùn)算的本質(zhì)是集合之間的映射。但在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，通常將運(yùn)算視為根據(jù)規(guī)則對(duì)具體對(duì)象進(jìn)行變形的演繹過(guò)程。
運(yùn)算具有十分廣泛的內(nèi)涵，不僅包括數(shù)值計(jì)算，以及代數(shù)式、方程的變形，還包括集合、向量、邏輯等的演算和數(shù)據(jù)的某些處理。
過(guò)去的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，按習(xí)慣稱計(jì)算能力，現(xiàn)在的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)，小學(xué)、初中必須兼顧，無(wú)疑統(tǒng)稱運(yùn)算能力更為確切。
小學(xué)數(shù)學(xué)的用詞習(xí)慣，兩個(gè)數(shù)的加減乘除叫四則計(jì)算，多個(gè)數(shù)的加減乘除叫四則運(yùn)算。事實(shí)上，計(jì)算、運(yùn)算兩詞混用的現(xiàn)象比較普遍。即使在高等數(shù)學(xué)里，微積分運(yùn)算、微積分計(jì)算也常常是同義詞。
五、 諸子百家對(duì)運(yùn)算有哪些解讀？
一是認(rèn)為運(yùn)算能力是一種綜合能力。在中國(guó)中學(xué)教學(xué)百科全書·數(shù)學(xué)卷里，是這樣定義的：“運(yùn)算能力是運(yùn)算技能與邏輯思維能力等的一種獨(dú)特的結(jié)合”
那其他專家又是如何解讀的呢？
百家講壇1：徐有表等主編的數(shù)學(xué)教學(xué)與智能發(fā)展中是這樣描述的：“運(yùn)算能力不是簡(jiǎn)單地加、減、乘、除的計(jì)算，而是與觀察能力、記憶能力、理解能力、推理能力、表達(dá)能力及想象能力等有關(guān)的由低級(jí)到高級(jí)的綜合能力”[2]。
百家講壇2：蘇聯(lián)教育心理學(xué)家克魯捷茨基的研究，并給出了數(shù)學(xué)能力的九種成分：① 能概括數(shù)學(xué)材料，并能從外表上不同的方面去發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn)的能力；② 能使數(shù)學(xué)材料形式化，并用形式的結(jié)構(gòu)，即關(guān)系和聯(lián)系的結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算的能力；③ 能用數(shù)字和其他符號(hào)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算的能力；④ 連續(xù)而有節(jié)奏地邏輯推理的能力；⑤ 能用簡(jiǎn)縮的思維結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行思維的能力；⑥ 能逆轉(zhuǎn)心理過(guò)程，從正向的思維系列到逆向的思維系列的能力；⑦ 思維的機(jī)動(dòng)靈活性，即從一種心理運(yùn)算過(guò)渡到另一種心理運(yùn)算的能力；⑧ 數(shù)學(xué)記憶能力；⑨ 能形成空間概念的能力，借助形象化（直觀）能力。這些成分，有些與運(yùn)算能力直接相關(guān)，其他的也與運(yùn)算能力有或多或少的聯(lián)系。
百家講壇3：在林崇德主編的.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué) 一書中是這樣描述運(yùn)算能力的。
“運(yùn)算能力主要表現(xiàn)為：根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)的法則、公式等進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算中表現(xiàn)出來(lái)的正確、合理、靈活、熟練程度上；還表現(xiàn)在理解運(yùn)算的算理，根據(jù)題目條件尋求最合理、最簡(jiǎn)捷運(yùn)算途徑的水平上”。
百家講壇4：在曹才翰主編.中國(guó)中學(xué)教學(xué)百科全書·數(shù)學(xué)卷一書中，是這樣理解學(xué)生學(xué)生運(yùn)算能力表現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)的幾個(gè)方面：
（1）迅速、正確地感知數(shù)學(xué)題目的形式結(jié)構(gòu)(關(guān)系及其特點(diǎn))的概括化能力(對(duì)數(shù)學(xué)材料的形式化知覺(jué)能力)。
（2）根據(jù)題目類型(運(yùn)算和關(guān)系的特點(diǎn))，正確地定出解法模式，根據(jù)運(yùn)算法則、運(yùn)算律或關(guān)系及其性質(zhì)，定出化歸的方向、解算的程序和變換的方法。
（3）心理過(guò)程的靈活性，即心理活動(dòng)迅速重組的能力。打破原有的解法模式而代之以一個(gè)新的模式的能力。多方面去試探題目的解法，擺脫思維定勢(shì)的影響。
（4）力求解法簡(jiǎn)潔、清楚、經(jīng)濟(jì)與合理。
（5）對(duì)題目類型、解法模式和原則等的概括化記憶(這種記憶特別有利于數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的遷移)。”
六、2011版的課程標(biāo)準(zhǔn)中是如何定義運(yùn)算能力的？
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中指出，“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。”
這兩句話，實(shí)際上刻畫了運(yùn)算能力的三個(gè)主要表現(xiàn)特征：正確運(yùn)算、理解算理、方法合理（運(yùn)算途徑簡(jiǎn)潔，是方法合理的自然結(jié)果）。也可以就字面意思解讀為：運(yùn)算能力主要是有根有據(jù)地正確運(yùn)算的能力；它的作用是促進(jìn)理解與應(yīng)用。言下之意：運(yùn)算能力的培養(yǎng)，主要依靠根據(jù)法則和運(yùn)算律提高正確性，通過(guò)理解算理與靈活運(yùn)用運(yùn)算解決問(wèn)題發(fā)展能力。
此外，運(yùn)算能力具有一定的層次性、發(fā)展性。由非負(fù)數(shù)運(yùn)算到有理數(shù)運(yùn)算，再到實(shí)數(shù)運(yùn)算；由整式運(yùn)算，到分式、根式運(yùn)算；由具體運(yùn)算到抽象運(yùn)算。運(yùn)算能力隨著知識(shí)面的逐步拓展、抽象程度的漸次提高而不斷發(fā)展。
七、從能力心理學(xué)的視角，運(yùn)算能力可以如何分解？
觀點(diǎn)1：陸書環(huán).在2000年第一期的數(shù)學(xué)教學(xué)研究雜志上發(fā)表的——略論數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的結(jié)構(gòu)及其培養(yǎng)策略為例，他是這樣分解的：
① 對(duì)運(yùn)算問(wèn)題的最初定向；
② 對(duì)具體運(yùn)算問(wèn)題的抽象和概括能力；
③ 縮短推理過(guò)程和簡(jiǎn)化相應(yīng)運(yùn)算環(huán)節(jié)的能力；
④ 對(duì)運(yùn)算方法的轉(zhuǎn)換能力；
⑤ 優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程和運(yùn)算方法的能力；
⑥ 記憶能力。
觀點(diǎn)2：簡(jiǎn)洪權(quán).在2000年第1-2合刊中發(fā)表的論文《高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的組成及培養(yǎng)策略》所闡述的觀點(diǎn)：
運(yùn)算能力由五種能力組成：
① 對(duì)題目信息的挖掘能力；
② 定義、公式、法則和定理的運(yùn)用能力；
③ 運(yùn)算方法的選擇能力；
④數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用能力；
⑤ 估算能力。
觀點(diǎn)3：章建躍在《解析幾何的思想、內(nèi)容與意義》一文中所闡述的觀點(diǎn)是：運(yùn)算能力包括以下內(nèi)容：概括化記憶有關(guān)運(yùn)算的基本知識(shí)；是否善于弄清問(wèn)題中的基本數(shù)量關(guān)系，對(duì)問(wèn)題的核心、類型、解法有一個(gè)最初的定向；能否簡(jiǎn)縮運(yùn)算過(guò)程、優(yōu)化運(yùn)算環(huán)節(jié)；靈活地變換各種運(yùn)算方法等。
八、如何立足小學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際，使運(yùn)算能力結(jié)構(gòu)的刻畫便于在教學(xué)實(shí)踐中加以運(yùn)用？
曹培英老師給出了四面體模型來(lái)解釋：
1. 基本口算，也就是20以內(nèi)的加減與表內(nèi)乘除要不假思索、脫口而出，它是其他口算和任何筆算、估算離不開的運(yùn)算反應(yīng)。最淺顯的例子如，知道7×8＝8×7，但不知道7×8或8×7等于多少的兒童，根本就不具備最起碼的運(yùn)算能力。
2. 算法、算理是運(yùn)算能力的兩只手，兩手都要抓，兩手都要硬！道理很簡(jiǎn)單，不掌握算法就無(wú)法確保實(shí)現(xiàn)運(yùn)算能力的最低要求“正確”；只知怎樣算，不知為什么這樣算，充其量只是搬弄數(shù)字的操作技能。
3. 對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，基本口算反應(yīng)與進(jìn)一步的算法、算理共同構(gòu)成運(yùn)算能力的底部。運(yùn)算能力的提高必須建筑在這一基礎(chǔ)上。
4. 運(yùn)算策略是指運(yùn)算信息的挖掘與運(yùn)算問(wèn)題的定向，運(yùn)算方法的選擇與運(yùn)算過(guò)程的簡(jiǎn)化及其自覺(jué)評(píng)價(jià)。它表現(xiàn)在解決單純的運(yùn)算問(wèn)題中，也表現(xiàn)在解決實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)算決策與實(shí)施過(guò)程中。運(yùn)算策略與其他三個(gè)要素相互關(guān)聯(lián)，運(yùn)算策略水平，是鑒別運(yùn)算能力的敏感因素。
以上內(nèi)容便是我學(xué)習(xí)到和體會(huì)到的，我會(huì)在今后的計(jì)算教學(xué)中努力通過(guò)各種形式和方法提升學(xué)生們的運(yùn)算能力，以促使計(jì)算題的準(zhǔn)確率能有所提升。
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