2018年5月，北京、山東兩地特級教師張宏偉在蒲公英大學進行了以《數(shù)學思考的全景式重建》為主題的精彩授課。
課堂精選
本文節(jié)選自本課課程實錄。
01
聚焦知識技能學習
我們先來看一節(jié)課。
這一節(jié)課由兩個例題構成，左側(cè)是例二，右側(cè)是例三，例一講的是周長的概念。
這節(jié)課的學習目標到底是什么？這個問題，我在全國各地都進行了一番調(diào)查，回收了問卷901份。
其中絕大多數(shù)老師都會寫到，這節(jié)課的學習目標是理解、掌握長方形和正方形的周長計算公式，會計算長、正方形的周長，能解決生活中簡單的實際問題。
但是，明確地把數(shù)學思考列為目標的，只有71份，占總?cè)藬?shù)的7.9％；把數(shù)學思考目標細化，并且列出了具體的數(shù)學思維培養(yǎng)路徑的，只有兩份，占總?cè)藬?shù)的0.2%。
這組數(shù)據(jù)反映，數(shù)學教學更多的是聚焦知識技能的學習，而不是學生的思考力。
我們都知道，數(shù)學學習的核心和關鍵是學會數(shù)學思考，涵養(yǎng)數(shù)學智慧。
對于學生而言，他在課堂上學會了知識，并不等于學會了數(shù)學思考。對于老師而言，教會學生數(shù)學知識，也并不等于教會了學生的數(shù)學思維。
在聽課中，我也發(fā)現(xiàn)，很多數(shù)學課堂只見知識、不見智慧。
我們需要做的第一項工作，就是把數(shù)學教育從原來聚焦系統(tǒng)知識技能的培養(yǎng)，重新轉(zhuǎn)移、回歸，聚焦到數(shù)學思考能力的系統(tǒng)培養(yǎng)上。
因此，我在教每一項內(nèi)容，上每一節(jié)課，甚至輔導每一道題的時候，都追問自己：它能在豐富學生思維的方法，改善學生思維的方式，特別是在啟迪學生的思維認知等方面，提供哪些知識？
與此同時，每上完一節(jié)課，我都要求團隊成員進行反思：
我是否始終關注了學生如何去思考？
我是否在盡力地引導學生學會如何思考？
我有多少時間和精力，是用在了數(shù)學思考力的培養(yǎng)上？
回過頭來，我們再來看這節(jié)課，也就是培養(yǎng)數(shù)學思考的價值到底在哪里？
我看過國內(nèi)所有版本教材的編排，盡管版本不同，但出題的依據(jù)，都是先學長方形的周長，再學正方形的周長，無一例外。
為什么這樣編排？因為正方形是特殊的長方形，我們是按照知識邏輯去編排的。
那么，這就引發(fā)另外一件事情的思考：我們能不能先學例三，再學例二？
下圖是我前年12月份，教學課上拍攝的一張照片。
從板書的順序上可以看到，我肯定是先板書了下面特殊的內(nèi)容，再板書了上面一般的情況。
我把這節(jié)課的數(shù)學思考目標細化為4點，并圍繞它們進行了課程和教學的重建。
首先，學生們根據(jù)第一課學習的方法，自然地就把兩個數(shù)相加，然后是三個數(shù)相加，四個數(shù)相加，八個數(shù)相加。
到第五個就出現(xiàn)了正方形周長的計算，學生自然想到了7＋7＋7＋7。
這時候我喊停，接著，有學生就說：“7×4?！?/p>
我把這兩個算式都擺出來后，問學生們哪一個算式是對的？
學生自然就會說：“都對。”
我：“為什么都對？這個乘法為什么對？”
學生：“4個7相加不就是7×4嗎？正方形每個邊都是7，那么一共4個7，所以就應該7×4?！?/p>
我：“這道題，用加法能做，用乘法也能做，哪一個更簡便？”
學生：“乘法更簡便。”
我：“既然用乘法更簡便，那為什么前面的四個圖形，不用乘法來計算呢？”
學生：“因為正方形特殊。”
我：“特殊在哪里？”
學生：“因為它四條邊都一樣長。”
于是，就有了我的第一個板書：特殊情況用特殊方法來解決。
隨后，我又追問：“一般情況呢？”
學生：“一般情況就用一般的方法來解決。”
這時，我就完成了第二個板書：一般情況用一般方法來解決。
02
突破限制
這時，有關正方形周長的學習，就已經(jīng)完成了。
接下來，我補充了教材上沒有的圖形，問學生：“這兩個圖形特殊嗎？能用特殊的方法解答嗎？”
學生說：“能用特殊的方法來解答，因為和正方形是一樣特殊的?！?/p>
為什么要這樣做？
一是突破了直角的限制，從直角到了任意角；
第二是突破了直邊的限制，就是線段的限制，從直線到曲線，這兩個圖形和正方形是完全共通的，學生們自然一學就會。
課上到這里并沒有結束，接下來我又拓展到了所有的正六邊形。
正方形其實就是正四邊形，然后我給出正五邊形，正六邊形，正七邊形，讓學生繼續(xù)拓展。
這三個圖形，我進行了精心的設計：
第一個圖形給出了所有的邊長，
第二個圖形只給出了一條邊長，
第三個圖形則一條也不給。
最妙的是后邊的省略號。
我問學生們，省略號代表什么意思？
有學生就回答說：“正幾邊形的周長，就用邊長乘以幾?！?/p>
最后，我把前面所有學過的正多邊形的圖形，歸結在一起，讓學生們看，進行整體的對比、分析。
學生立刻就會發(fā)現(xiàn)，“求一個圖形的周長，不管它是曲的、直的、凸的、凹的，只要所有的邊長相等，就可以用乘法計算”。
這就是一種整體化的結構性的思考。
我僅僅是在教正方形的周長嗎？
并不是，正方形只是思考特殊圖形周長的一個跳板，是學生發(fā)現(xiàn)特殊問題特殊解決的敲門磚。
所以，我的教學目標，并不在正方形本身，而在于用正方形發(fā)現(xiàn)特殊問題特殊解決的一個基本的思路。
接下來學習長方形的周長，我用“特殊”這兩個字，貫穿了整整一節(jié)課。
我：“它特殊嗎？”
有個學生回答：“它有點小特殊?！?/p>
我：“小特殊在哪里？”
學生：“它不像剛剛學過的那些圖形，所有的邊都是一樣長的，這個圖形上下是一樣的，左右也是一樣的?！?/p>
我：“既然它小特殊，那能用小特殊的方法來解決嗎？”
這時，所有的學生都領悟了：“用長乘以2加上寬乘以2?！?
我繼續(xù)追問：“學生們，你們能看到大特殊嗎？”
這時，有個學生就說：“老師，我知道了，我可以把它看成完全一樣的兩邊形。”
那個學生繼續(xù)說：“比如，你把下邊和右邊的這條邊，看成一條會拐彎的邊，那么它的上面還有一條會拐彎的邊，一條會拐彎的邊是30，兩條是一樣的，所以就是長加寬的和乘以2?！?/p>
我講了許多遍這課的內(nèi)容，從沒有想過這種比喻的方法。
其實，長方形也只是解決這類問題的一塊敲門磚，它并不是我教學的目的。
到了這里，教學完了嗎？
沒有，這時候，我又開始拓展學生的思維。
超越長方形，從直線到曲線，從直角到任意角，讓學生學會類推，學生的思維一下子就打開了。
就如上面這張圖片，我告訴學生，這個世界上萬事萬物，都不是非黑即白，中間的是灰色的底面。
那么，我們在干什么？
我們在做全景式思考教育，一項非常重要的事情，就是補上圖形的中間地帶，補上思維的灰色區(qū)域。
實際上，我們是在超越數(shù)學。
除了這些東西，我還做了一件事情。
我跟學生們說，按照班級約定，遲到了就要接受批評。
如果一個學生遲到，是因為在上學路上，碰到一個老太太暈倒，他在那陪著老太太，直到救護車到來，因此導致上課遲到。這種情況下，是否應該被批評呢？
全班學生都持否定態(tài)度，認為非但不應批評，還應該表揚他。因為這是特殊情況。
接著，我又回到板書上來：
“孩子們，不僅數(shù)學是這樣，生活當中所有的事情都是這樣，遇到特殊情況就要特殊對待。而碰到一般的情況，就要用一般的方法來解決?！?/p> 03
四點思維目標
現(xiàn)在，我來公布課前思考和制訂的四點思維目標是什么：
第一個目標是，在思考周長問題時，能根據(jù)周長的意義自覺向物體或圖形一周的邊線定向。
明確求周長的時候，應該把思考的著力點放在分析邊線的特征上。
第二個目標是，學生能自覺地根據(jù)特征進行分類思考，決定采用一般的方法，還是與特征匹配的特殊方法。
感悟到一般問題用一般方法去解決，特殊問題用特殊方法去解決。
感悟到一般性方法是通用的方法，特殊的方法只能解決具有同樣特征的專項問題。
特殊問題用特殊方法解決會更簡便。
第三個目標是，期望學生通過課程的學習，感悟用特殊方法解決問題的核心是發(fā)現(xiàn)事物和圖形的特殊之處；從不同的角度來思考，可以發(fā)現(xiàn)不同的特殊性，繼而發(fā)現(xiàn)不同的特殊方法。
第四個目標是，通過匯總、比較、分類、類推等策略，對同類問題進行整體性分析和思考，初步學會系統(tǒng)、結構性地思考和解決問題。
我相信這些東西是“智慧”！對學生的成長和發(fā)展而言，它遠比學會求長方形和正方形的周長的意義更大，影響更為深遠。
每一個年級、每一項內(nèi)容都有相應的思維培養(yǎng)的功用和價值。
全景式數(shù)學教育倡導：始終關注并充分發(fā)掘每一項內(nèi)容、每一次教學活動在培養(yǎng)數(shù)學思考方面的重要價值，讓學生用數(shù)學學會思考，更多的為學生的思維發(fā)展而教，更大程度上，把數(shù)學知識的教學變?yōu)閿?shù)學智慧的教育。
這是我們重建的第一個模塊。
重建的第二個模塊是完整支撐數(shù)學思考的“背景內(nèi)容”。
數(shù)學思考是需要一定的背景支撐的，包括它的語言、單詞、概念等。
全景式數(shù)學教育利用整合出來的時間，引進了系列的非歐幾何、模糊數(shù)學等非傳統(tǒng)數(shù)學內(nèi)容，并對傳統(tǒng)內(nèi)容進行了補充和完善。
這豐富、完整了支撐學生數(shù)學思考的“原材料”，讓孩子能以完整的數(shù)學眼光看待和思考數(shù)學本身，看待和思考他所處的這個世界。
以四邊形為例。
人教版教材中，有長方形、正方形、菱形、梯形和任意四邊形，那么這完整嗎？
從全景式數(shù)學教育來看，它是不完整的。
我在杭州任教時，曾對下面的這個圖形進行過調(diào)查。
在學生們學完四邊形后，我就拿著像右側(cè)一樣形狀的廢鋼板，到四個班級進行調(diào)查。
我問這是四邊形嗎？結果四個班的學生，無一例外地都說，它不是四邊形。
我繼續(xù)問原因，學生們就拿著書跟我說，書上的圖形才是四邊形。
聽完學生們的這番話，我內(nèi)心非常震撼。
我們都知道，其實這是凹四邊形。
除了凹四邊形，我的一個徒弟用四條小木棍來代表四條線段，首尾依次連接。
學生們看到這個圖形后，發(fā)現(xiàn)這也是四邊形。
整個過程下來，我們的課程和傳統(tǒng)的課本相比，僅僅多呈現(xiàn)了兩個圖形，多做一次操作，學生的認識從此就豐富和完整了！
04
數(shù)學有無限的可能性
我從不給孩子設限，努力讓他們認識到數(shù)學也有無限的可能性，盡最大的努力，為孩子的數(shù)學思考奠基更廣闊的智力背景，讓孩子始終以自由的心態(tài)、開放的視野，去思考一切。
舉一個案例。
2017年6月22日，一年級的下學期暑假前，還有不到兩個星期就考試了。
當時，我接到了北京的一項任務，給北京骨干教師開放研修。我執(zhí)教一節(jié)課，聽完課的老師可以匿名提交評價。
當時，我上了一節(jié)復習課，課名叫作“100以內(nèi)減法的復習”。
講臺上有三塊黑板，我首先問學生們?yōu)槭裁匆頃斫淌遥?/p>
他們一聽，愣了，但是馬上回答，不整理就會很亂。
另一個學生說，不整理東西不好找。
第三個學生說，不整理很亂，一亂我就心煩，不舒服。
然后，我說：“數(shù)學知識和書包、房間一樣，你不整理，它就會亂，你想運用知識也難找，而且不整理，你的腦子會不舒服。這節(jié)課，我們就來整理100以內(nèi)的減法，行嗎？”
學生們都說行，我問誰來整理，他們說自己來整理。
我說：“好，你們以小組為單位，分類整理，整理光分類不行，還要舉出重要的例子，因為最好的說明就是舉例子。”
說完，學生們就開始小組合作了。
合作完后，開始小組反饋，
第一組學生說，老師，我們分為兩位數(shù)減兩位數(shù)、一位數(shù)減一位數(shù)和兩位數(shù)減一位數(shù)的減法，而且各自舉出了例子。
第二組的學生說，老師，我們分成了兩大類：退位和不退位。
接著，他們又根據(jù)第一組學生的意見，把退位分成了三類，一類叫兩位數(shù)減兩位數(shù)的退位減法，兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法和一位數(shù)減一位數(shù)的退位減法。
在舉例時，學生們說了一句很了不起的話：“一位數(shù)減一位數(shù)的退位減法，我們暫時還沒有找到例子。”
他們并沒有說沒有例子，而是暫時找不到。這就說明，我一直以來熏陶的觀念已經(jīng)見效了，那就是數(shù)學有無限的可能性，只是我們沒發(fā)現(xiàn)而已。
而且，在講解一位數(shù)減一位數(shù)的退位減法時，學生們發(fā)生了一點爭執(zhí)。
有學生說，第一組講的，個位不夠減也不一定退位，是錯的，書上也錯了。
當時我一愣，連問什么意思，讓他舉例子說明。
學生就上講臺說：“比如，6減9，26減9，第一個個位夠減嗎？我認為不夠減，但也不需要借位，只要反過來減就行，然后加上負號等于負3。所以，個位不夠減，不需要借位，只是說只有個位不夠減，還有十位的時候，我們才從十位上去減?！?/p>
在場聽課的老師聽完這番話后，紛紛鼓掌。
對此，我感到非常振奮和欣慰，我教了將近30年，從來沒發(fā)現(xiàn)這個道理。
接著，第三組學生按連減和不連減來進行分。他們也是親自到黑板上進行板書。
第四組的學生，按照結果來分，結果分為等于0的、大于0的和小于0的，而且各自舉出了例子。
這時候，我又開始懷疑我的教學人生了：100以內(nèi)的減法，包括負數(shù)嗎？
這時候下課了，然后一個學生還是不依不饒地喊：“老師，我還有一種分法。我把100以內(nèi)的減法，分為整數(shù)減法和小數(shù)減法，比如說0.8減0.3等于0.5，也是100以內(nèi)的?！?/p>
這節(jié)課的反響非常不錯。
有老師留言說：“本節(jié)課老師，教給學生如何整理復習，給學生整理的方法，老師不局限于教一年級的學生，學生生成什么問題，老師就勾連什么問題，做好了知識的延伸，哪怕與中學知識的聯(lián)系?！?/p>
另一個老師說：“這節(jié)課，張老師打破了教材的知識限制，根據(jù)學生所需，很自然地將負數(shù)的知識，引入到課堂上，充分體現(xiàn)了尊重學生的需要。”
這些老師的匿名評價，我最喜歡的是“尊重學生的需要”這幾個字。
真正地尊重學生，不是課堂上跟他和顏悅色，而是真正地尊重課堂上每一個孩子的想法和每一個孩子的做法、每一個孩子的行動。
我們團隊想破一個局：
對于一年級的學生，所有人都認為就應該學一年級的知識，不能學別的。
家庭教育是這樣，學校教育也是這樣，我們會給孩子先畫一個圈，認為孩子只能學這個東西。于是，我們就在一個框框里去學，認為這是安全的。
等孩子把這個框里的東西學完了，我們再把這個框打破，給孩子套一個更大的圈，限制孩子在這個圈里學。
等孩子把這個圈里的東西學好了，我們再給一個更大的圈，打破這個圈再來學。
而全景式數(shù)學教育不一樣，我們主張整體認識優(yōu)先，一開始，就盡量給孩子一個完整的世界。
讓他們在整個原始森林中研究和思考一棵樹，通過研究一棵樹去思考整個原始森林！
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