本文從激活函數(shù)的背景知識開始介紹，重點講解了不同類型的非線性激活函數(shù)：Sigmoid、Tanh、ReLU、LReLU、PReLU、Swish，并詳細介紹了這些函數(shù)的優(yōu)缺點。
1. 什么是激活函數(shù)？
生物神經(jīng)網(wǎng)絡啟發(fā)了人工神經(jīng)網(wǎng)絡的發(fā)展。但是，ANN 并非大腦運作的近似表示。不過在我們了解為什么在人工神經(jīng)網(wǎng)絡中使用激活函數(shù)之前，先了解生物神經(jīng)網(wǎng)絡與激活函數(shù)的相關性是很有用處的。
典型神經(jīng)元的物理結(jié)構(gòu)包括細胞體（cell body）、向其他神經(jīng)元發(fā)送信號的軸突（axon）和接收其他神經(jīng)元發(fā)送的信號或信息的樹突（dendrites）。
生物神經(jīng)網(wǎng)絡
上圖中，紅色圓圈代表兩個神經(jīng)元交流的區(qū)域。神經(jīng)元通過樹突接收來自其他神經(jīng)元的信號。樹突的權(quán)重叫作突觸權(quán)值（synaptic weight），將和接收的信號相乘。來自樹突的信號在細胞體內(nèi)不斷累積，如果信號強度超過特定閾值，則神經(jīng)元向軸突傳遞信息。如未超過，則信號被該神經(jīng)元「殺死」，無法進一步傳播。
激活函數(shù)決定是否傳遞信號。在這種情況下，只需要帶有一個參數(shù)（閾值）的簡單階梯函數(shù)?，F(xiàn)在，當我們學習了一些新的東西（或未學習到什么）時，一些神經(jīng)元的閾值和突觸權(quán)值會發(fā)生改變。這使得神經(jīng)元之間產(chǎn)生新的連接，大腦學會新的東西。
讓我們再次理解這一概念，不過這次要使用人工神經(jīng)元。
上圖中（x_1, ..., x_n）是信號向量，它和權(quán)重（w_1, ..., w_n）相乘。然后再累加（即求和 + 偏置項 b）。最后，激活函數(shù) f 應用于累加的總和。
注意：權(quán)重（w_1, ..., w_n）和偏置項 b 對輸入信號進行線性變換。而激活函數(shù)對該信號進行非線性變換，這使得我們可以任意學習輸入和輸出之間的復雜變換。
過去已經(jīng)出現(xiàn)了很多種函數(shù)，但是尋找使神經(jīng)網(wǎng)絡更好更快學習的激活函數(shù)仍然是活躍的研究方向。
2. 神經(jīng)網(wǎng)絡如何學習？
我們有必要對神經(jīng)網(wǎng)絡如何學習有一個基本了解。假設網(wǎng)絡的期望輸出是 y（標注值），但網(wǎng)絡實際輸出的是 y'（預測值）。預測輸出和期望輸出之間的差距（y - y'）可以轉(zhuǎn)化成一種度量，即損失函數(shù)（J）。神經(jīng)網(wǎng)絡犯大量錯誤時，損失很高；神經(jīng)網(wǎng)絡犯錯較少時，損失較低。訓練目標就是找到使訓練集上的損失函數(shù)最小化的權(quán)重矩陣和偏置向量。
在下圖中，損失函數(shù)的形狀像一個碗。在訓練過程的任一點上，損失函數(shù)關于梯度的偏導數(shù)是那個位置的梯度。沿偏導數(shù)預測的方向移動，就可以到達谷底，使損失函數(shù)最小化。使用函數(shù)的偏導數(shù)迭代地尋找局部極小值的方法叫作梯度下降。
人工神經(jīng)網(wǎng)絡中的權(quán)重使用反向傳播的方法進行更新。損失函數(shù)關于梯度的偏導數(shù)也用于更新權(quán)重。從某種意義上來說，神經(jīng)網(wǎng)絡中的誤差根據(jù)求導的鏈式法則執(zhí)行反向傳播。這通過迭代的方式來實施，經(jīng)過多次迭代后，損失函數(shù)達到極小值，其導數(shù)變?yōu)?0。
我們計劃在其他文章中介紹反向傳播。這里主要指出的就是訓練過程中出現(xiàn)的求導步驟。
3. 激活函數(shù)的類型
線性激活函數(shù)：這是一種簡單的線性函數(shù)，公式為：f(x) = x。基本上，輸入到輸出過程中不經(jīng)過修改。
線性激活函數(shù)
非線性激活函數(shù)：用于分離非線性可分的數(shù)據(jù)，是最常用的激活函數(shù)。非線性方程控制輸入到輸出的映射。非線性激活函數(shù)有 Sigmoid、Tanh、ReLU、LReLU、PReLU、Swish 等。下文中將詳細介紹這些激活函數(shù)。
非線性激活函數(shù)
4. 為什么人工神經(jīng)網(wǎng)絡需要非線性激活函數(shù)？
神經(jīng)網(wǎng)絡用于實現(xiàn)復雜的函數(shù)，非線性激活函數(shù)可以使神經(jīng)網(wǎng)絡隨意逼近復雜函數(shù)。沒有激活函數(shù)帶來的非線性，多層神經(jīng)網(wǎng)絡和單層無異。
現(xiàn)在我們來看一個簡單的例子，幫助我們了解為什么沒有非線性，神經(jīng)網(wǎng)絡甚至無法逼近異或門（XOR gate）、同或門（XNOR gate）等簡單函數(shù)。下圖是一個異或門函數(shù)。叉和圈代表了數(shù)據(jù)集的兩個類別。當 x_1、x_2 兩個特征一樣時，類別標簽是紅叉；不一樣，就是藍圈。兩個紅叉對于輸入值 (0,0) 和 (1,1) 都有輸出值 0，兩個藍圈對于輸入值 (0,1) 和 (1,0) 都有輸出值 1。
異或門函數(shù)的圖示
從上圖中，我們可以看到數(shù)據(jù)點非線性可分。也就是說，我們無法畫出一條直線使藍圈和紅叉分開來。因此，我們需要一個非線性決策邊界（non-linear decision boundary）來分離它們。
激活函數(shù)對于將神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出壓縮進特定邊界內(nèi)也非常關鍵。神經(jīng)元
了解這些背景知識之后，我們就可以了解不同類型的激活函數(shù)了。
5. 不同類型的非線性激活函數(shù)
5.1 Sigmoid
Sigmoid又叫作 Logistic 激活函數(shù)，它將實數(shù)值壓縮進 0 到 1 的區(qū)間內(nèi)，還可以在預測概率的輸出層中使用。該函數(shù)將大的負數(shù)轉(zhuǎn)換成 0，將大的正數(shù)轉(zhuǎn)換成 1。數(shù)學公式為：
下圖展示了 Sigmoid 函數(shù)及其導數(shù)：
Sigmoid 激活函數(shù)
Sigmoid 導數(shù)
Sigmoid 函數(shù)的三個主要缺陷：
1. 梯度消失：注意：Sigmoid 函數(shù)趨近 0 和 1 的時候變化率會變得平坦，也就是說，Sigmoid 的梯度趨近于 0。神經(jīng)網(wǎng)絡使用 Sigmoid 激活函數(shù)進行反向傳播時，輸出接近 0 或 1 的神經(jīng)元其梯度趨近于 0。這些神經(jīng)元叫作飽和神經(jīng)元。因此，這些神經(jīng)元的權(quán)重不會更新。此外，與此類神經(jīng)元相連的神經(jīng)元的權(quán)重也更新得很慢。該問題叫作梯度消失。因此，想象一下，如果一個大型神經(jīng)網(wǎng)絡包含 Sigmoid 神經(jīng)元，而其中很多個都處于飽和狀態(tài)，那么該網(wǎng)絡無法執(zhí)行反向傳播。
2. 不以零為中心：Sigmoid 輸出不以零為中心的。
3. 計算成本高昂：exp() 函數(shù)與其他非線性激活函數(shù)相比，計算成本高昂。
下一個要討論的非線性激活函數(shù)解決了 Sigmoid 函數(shù)中值域期望不為 0 的問題。
5.2 Tanh
Tanh 激活函數(shù)
Tanh 導數(shù)
Tanh 激活函數(shù)又叫作雙曲正切激活函數(shù)（hyperbolic tangent activation function）。與 Sigmoid 函數(shù)類似，Tanh 函數(shù)也使用真值，但 Tanh 函數(shù)將其壓縮至-1 到 1 的區(qū)間內(nèi)。與 Sigmoid 不同，Tanh 函數(shù)的輸出以零為中心，因為區(qū)間在-1 到 1 之間。你可以將 Tanh 函數(shù)想象成兩個 Sigmoid 函數(shù)放在一起。在實踐中，Tanh 函數(shù)的使用優(yōu)先性高于 Sigmoid 函數(shù)。負數(shù)輸入被當作負值，零輸入值的映射接近零，正數(shù)輸入被當作正值。唯一的缺點是：
1. Tanh 函數(shù)也會有梯度消失的問題，因此在飽和時也會「殺死」梯度。
為了解決梯度消失問題，我們來討論另一個非線性激活函數(shù)——修正線性單元（rectified linear unit，ReLU），該函數(shù)明顯優(yōu)于前面兩個函數(shù)，是現(xiàn)在使用最廣泛的函數(shù)。
5.3 修正線性單元（ReLU）
ReLU 激活函數(shù)
ReLU 導數(shù)
從上圖可以看到，ReLU 是從底部開始半修正的一種函數(shù)。數(shù)學公式為：
當輸入 x<0 時，輸出為 0，當 x> 0 時，輸出為 x。該激活函數(shù)使網(wǎng)絡更快速地收斂。它不會飽和，即它可以對抗梯度消失問題，至少在正區(qū)域（x> 0 時）可以這樣，因此神經(jīng)元至少在一半?yún)^(qū)域中不會把所有零進行反向傳播。由于使用了簡單的閾值化（thresholding），ReLU 計算效率很高。但是 ReLU 神經(jīng)元也存在一些缺點：
1. 不以零為中心：和 Sigmoid 激活函數(shù)類似，ReLU 函數(shù)的輸出不以零為中心。
2. 前向傳導（forward pass）過程中，如果 x < 0，則神經(jīng)元保持非激活狀態(tài)，且在后向傳導（backward pass）中「殺死」梯度。這樣權(quán)重無法得到更新，網(wǎng)絡無法學習。當 x = 0 時，該點的梯度未定義，但是這個問題在實現(xiàn)中得到了解決，通過采用左側(cè)或右側(cè)的梯度的方式。
為了解決 ReLU 激活函數(shù)中的梯度消失問題，當 x < 0 時，我們使用 Leaky ReLU——該函數(shù)試圖修復 dead ReLU 問題。下面我們就來詳細了解 Leaky ReLU。
5.4 Leaky ReLU
Leaky ReLU 激活函數(shù)
該函數(shù)試圖緩解 dead ReLU 問題。數(shù)學公式為：
Leaky ReLU 的概念是：當 x < 0 時，它得到 0.1 的正梯度。該函數(shù)一定程度上緩解了 dead ReLU 問題，但是使用該函數(shù)的結(jié)果并不連貫。盡管它具備 ReLU 激活函數(shù)的所有特征，如計算高效、快速收斂、在正區(qū)域內(nèi)不會飽和。
Leaky ReLU 可以得到更多擴展。不讓 x 乘常數(shù)項，而是讓 x 乘超參數(shù)，這看起來比 Leaky ReLU 效果要好。該擴展就是 Parametric ReLU。
5.5 Parametric ReLU
PReLU 函數(shù)的數(shù)學公式為：
其中是超參數(shù)。這里引入了一個隨機的超參數(shù)，它可以被學習，因為你可以對它進行反向傳播。這使神經(jīng)元能夠選擇負區(qū)域最好的梯度，有了這種能力，它們可以變成 ReLU 或 Leaky ReLU。
總之，最好使用 ReLU，但是你可以使用 Leaky ReLU 或 Parametric ReLU 實驗一下，看看它們是否更適合你的問題。
5.6 Swish
Swish 激活函數(shù)
該函數(shù)又叫作自門控激活函數(shù)，它近期由谷歌的研究者發(fā)布，數(shù)學公式為：
根據(jù)論文（https://arxiv.org/abs/1710.05941v1），Swish 激活函數(shù)的性能優(yōu)于 ReLU 函數(shù)。
根據(jù)上圖，我們可以觀察到在 x 軸的負區(qū)域曲線的形狀與 ReLU 激活函數(shù)不同，因此，Swish 激活函數(shù)的輸出可能下降，即使在輸入值增大的情況下。大多數(shù)激活函數(shù)是單調(diào)的，即輸入值增大的情況下，輸出值不可能下降。而 Swish 函數(shù)為 0 時具備單側(cè)有界（one-sided boundedness）的特性，它是平滑、非單調(diào)的。更改一行代碼再來查看它的性能，似乎也挺有意思。
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