力的概念早在漢密爾頓力學(xué)的框架內(nèi)就失去了存在的合理性，但它卻一直貫穿于我們處理力學(xué)問(wèn)題的思維并在教科書(shū)中快樂(lè)地存在著。本文（發(fā)表在 Physics Today 2004年10月號(hào)）中，2004 年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主、MIT 物理學(xué)教授弗蘭克·維爾切克從科學(xué)發(fā)展史、科學(xué)方法論以及文化與心理學(xué)的角度研究了這一悖論，讀來(lái)令人有茅塞頓開(kāi)之感。
本文轉(zhuǎn)載自微信號(hào)中國(guó)物理學(xué)會(huì)期刊網(wǎng)（ID： cpsjournals），有部分刪改。
撰文 弗蘭克·維爾切克（Frank Wilczek）
翻譯 黃嬈
審校 曹則賢
來(lái)源 《物理》雜志
在我的學(xué)生時(shí)代，經(jīng)典力學(xué)是最讓我費(fèi)神的一門(mén)課。這常常讓我覺(jué)得很奇怪，因?yàn)樵谖覍W(xué)習(xí)那些通常認(rèn)為更難的高級(jí)課程時(shí)，并不覺(jué)得有什么困難?，F(xiàn)在我想我已經(jīng)找到答案了。這是“文化沖擊”的一個(gè)例子。從數(shù)學(xué)的角度，我期望得到一個(gè)運(yùn)算法則。結(jié)果我遇到的是一些完全不同的東西——實(shí)際上是某種“文化”。下面讓我來(lái)解釋。
有關(guān) F=ma 的一些問(wèn)題
牛頓第二定律 F=ma 是經(jīng)典力學(xué)的靈魂。和其他堪稱靈魂的東西一樣，它并不那么牢靠。方程的右邊是有確切意義的兩項(xiàng)之積。加速度是一個(gè)純運(yùn)動(dòng)學(xué)的概念，可以根據(jù)空間和時(shí)間來(lái)定義。質(zhì)量很直接地反映了物體的可測(cè)量性質(zhì)（重量、反沖速度）。另一方面，方程的左邊卻沒(méi)有獨(dú)立的意義。然而，即便用最高的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量，牛頓第二定律顯然意義重大：它在很多特定的情形下都十分有用。外觀富麗堂皇、花里胡哨的橋梁，比如天鵝橋（Erasmus bridge， 以“鹿特丹的天鵝”之名而聞名于世），確實(shí)能夠承重；宇宙飛船確實(shí)能夠抵達(dá)土星。
當(dāng)我們以現(xiàn)代物理的觀點(diǎn)去考察“力”的時(shí)候，就會(huì)進(jìn)一步加深這個(gè)悖論。事實(shí)上，力的概念在很多基本定律的高級(jí)表達(dá)方式中是不存在的。它不出現(xiàn)在薛定諤方程中，不出現(xiàn)在量子場(chǎng)論的任何合理的公式中，廣義相對(duì)論的建立也不需要用到它。早在相對(duì)論和量子力學(xué)產(chǎn)生之前，目光敏銳的人就觀察到一個(gè)趨勢(shì)：消除力的概念。
尤為驚人是，羅素在他1925年出版的相對(duì)論普及讀物《相對(duì)論入門(mén)》中寫(xiě)道：“如果人們?cè)囍眯碌姆绞娇创@個(gè)世界，消除‘力’的概念將不僅僅影響到我們物理上的觀念，而且可能還包括道義上和政治上的……在關(guān)于太陽(yáng)系的牛頓理論看來(lái)，太陽(yáng)似乎是一個(gè)發(fā)號(hào)施令的君主，行星則必須遵守這些命令；而愛(ài)因斯坦構(gòu)造的世界里與之相比要多一些個(gè)人主義，少一些專制獨(dú)裁。”這種想法是如此的特別而且顛覆傳統(tǒng)。
羅素那本書(shū)第14章的題目就是“力的剔除”。
如果 F=ma 形式上是空洞的，精確推敲起來(lái)則模糊晦澀，甚至道義上是可疑的，那么它的不可否認(rèn)的力量又是從哪里來(lái)的呢？
力的文化
為了弄清它的來(lái)源，我們看看這個(gè)公式是怎樣應(yīng)用的。
一類(lèi)很普遍的問(wèn)題是給定一個(gè)力然后求解運(yùn)動(dòng)，或者相反。這看起來(lái)像是物理，但實(shí)際上只是微分方程和幾何的練習(xí)題，加了一點(diǎn)偽裝而已。為了與物理事實(shí)聯(lián)系起來(lái)，我們必須對(duì)實(shí)際存在于這個(gè)世界上的力做一個(gè)聲明，各種各樣的假設(shè)被塞了進(jìn)來(lái)，但經(jīng)常并不說(shuō)明。
經(jīng)典力學(xué)里關(guān)于運(yùn)動(dòng)的第零定律是質(zhì)量守恒。由于它過(guò)于基本所以牛頓沒(méi)有明確指出，物體的質(zhì)量被認(rèn)為獨(dú)立于速度和任何施加于它的外力，總質(zhì)量既不產(chǎn)生也不消滅，只是在物體相互作用的時(shí)候重新分配。當(dāng)然，如今我們知道以上內(nèi)容并不十分正確。
牛頓第三定律指出，對(duì)于每個(gè)作用，存在著一個(gè)大小相等方向相反的反作用。而且，我們通常假定力不獨(dú)立于速度。這兩個(gè)觀點(diǎn)也都不那么正確。例如，它們不能解釋帶電粒子間的磁相互作用。
當(dāng)我們引入約束力和摩擦力的時(shí)候還要做出一些其他假設(shè)。
在此我不作贅述。任何人仔細(xì)想一想就會(huì)發(fā)現(xiàn)，公式 F=ma 自身顯然并不能為構(gòu)建整個(gè)力學(xué)體系提供一個(gè)運(yùn)算法則。這個(gè)方程更像是一種用以表達(dá)力學(xué)體系里各種不同的、有用的見(jiàn)解之公共語(yǔ)言。換句話說(shuō)，對(duì)這些符號(hào)的解釋包含了完整的文化。當(dāng)我們學(xué)習(xí)力學(xué)的時(shí)候，我們不得不通過(guò)大量例題來(lái)領(lǐng)會(huì)力到底是什么，這不僅僅是經(jīng)由練習(xí)培養(yǎng)技能的問(wèn)題，而是我們吸收了由這許多假定構(gòu)成的一種默認(rèn)的文化。不能認(rèn)同這一點(diǎn)就是造成我困擾的原因。
力學(xué)的歷史發(fā)展反映了一個(gè)類(lèi)似的學(xué)習(xí)過(guò)程。牛頓在解釋行星運(yùn)動(dòng)上獲得了巨大的成功，他發(fā)現(xiàn)使用形式簡(jiǎn)單的力可以解釋整個(gè)系統(tǒng)的行為。他在《原理》第二卷中對(duì)延展物體和流體之力學(xué)的嘗試是突破性，但卻沒(méi)有決定性的結(jié)果，而且他幾乎沒(méi)有接觸到力學(xué)中更實(shí)用的方面。后來(lái)，許多杰出的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家對(duì)于我們今天所理解的“力的文化”做出了重要的貢獻(xiàn)，他們當(dāng)中特別包括達(dá)朗貝爾（約束和接觸力）、庫(kù)倫（摩擦），和歐拉（剛體、彈性物體和流體）。
物理和心理上的來(lái)源
我們發(fā)現(xiàn)，許多根植于“力的文化”中的觀點(diǎn)并不完全正確。此外，我們今天認(rèn)為更正確的那一套物理定律如果要嵌入這種文化的語(yǔ)言框架卻不是那么容易的。要知道產(chǎn)生這種現(xiàn)狀的原因，必須回答兩個(gè)問(wèn)題：為什么這種文化能持續(xù)繁榮？為什么它會(huì)最先出現(xiàn)？
對(duì)于物質(zhì)的行為，我們今天擁有非常完善和精確的定律來(lái)描述，大體上涵蓋了經(jīng)典力學(xué)和更大范圍內(nèi)的現(xiàn)象。量子電動(dòng)力學(xué)和量子色動(dòng)力學(xué)為構(gòu)建物質(zhì)以及它們之間的非引力作用提供了基本的定律；廣義相對(duì)論則使我們對(duì)引力有了充分的描述。從這些有利條件來(lái)看，我們可以得到有關(guān)“力的文化”整個(gè)領(lǐng)域及其邊緣的清晰圖景。
相對(duì)于早期的觀點(diǎn)，20 世紀(jì)的現(xiàn)代物質(zhì)理論更精確、更具多視角的特點(diǎn)。量子電動(dòng)力學(xué)和量子色動(dòng)力學(xué)的方程形成了一個(gè)封閉的邏輯體系：它們告訴你什么樣的物體會(huì)出現(xiàn)，同時(shí)能預(yù)先規(guī)范它們的行為，它們支配著你的測(cè)量設(shè)備，和你本身。因此，它們定義了什么樣的物理問(wèn)題可以被提出，并且為這些問(wèn)題提供了答案，或者至少是得到答案的算法（我深信量子電動(dòng)力學(xué)加量子色動(dòng)力學(xué)不是解釋自然界的完備的理論，而且，實(shí)際上我們并不能很好地求解那些方程）?；闹嚨氖?，相對(duì)于早期的并不那么完善的理論體系，現(xiàn)代物理的建立包含較少的解釋和文化。方程僅僅提供算法，如此而已。
同現(xiàn)代基礎(chǔ)物理相比，“力的文化”定義很模糊、狹隘，而且是近似的。不過(guò)，由于一個(gè)決定性的優(yōu)勢(shì)，它在這場(chǎng)競(jìng)賽中生存了下來(lái)，而且持續(xù)繁榮，那就是它容易操作。實(shí)際上我們不希望穿越廣闊的希爾伯特空間，歸一化消除紫外發(fā)散，解析延拓歐氏空間里的格林函數(shù)，然后計(jì)算發(fā)現(xiàn)覆蓋了電子云的核子組成原子，再聚集起來(lái)構(gòu)成固體，??而所有這些只是為了描述兩個(gè)彈子球的碰撞。這樣的做法簡(jiǎn)直比直接用機(jī)器代碼在沒(méi)有操作系統(tǒng)幫助的情況下進(jìn)行電腦繪圖更像精神病。這個(gè)類(lèi)比的意思是：力是一個(gè)相當(dāng)于高級(jí)語(yǔ)言的靈活創(chuàng)造，它使我們從不相關(guān)的細(xì)節(jié)中解脫出來(lái)，讓我們相對(duì)不那么痛苦地專心于應(yīng)用。
為什么我們能夠?qū)⒛切┪镔|(zhì)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜封裝起來(lái)而不顧？那是因?yàn)槲镔|(zhì)通常處于一種穩(wěn)定的內(nèi)狀態(tài)，具有很高的能量和熵的壁壘從而限制了能夠被激發(fā)的自由度。我們可以將注意力轉(zhuǎn)向那些數(shù)目很少的有效自由度，其他的不過(guò)是為演員提供的舞臺(tái)而已。
雖然力本身不出現(xiàn)在現(xiàn)代物理的基本方程中，但這些方程顯然包含著能量和動(dòng)量，而力與這二者有著緊密的聯(lián)系。所以力的概念沒(méi)有遠(yuǎn)離現(xiàn)代物理的基礎(chǔ)。不改變經(jīng)典力學(xué)的內(nèi)容，我們可以將力放入拉格朗日力學(xué)的語(yǔ)境中，只是在其中它不再是一個(gè)基礎(chǔ)的量。但這只是一個(gè)技巧問(wèn)題；更深一層的問(wèn)題是：“ 力的文化”反映出哪些基本的東西？什么樣的近似導(dǎo)致了它的出現(xiàn)？
至于心理學(xué)上的問(wèn)題——為什么從邏輯的角度，能量能解釋力所能解釋的一切，甚至比力做得更好，而力曾經(jīng)而且仍然被引入到力學(xué)的基礎(chǔ)中去？動(dòng)量的改變——相對(duì)于力——是顯而易見(jiàn)的，而能量的改變通常不易被察覺(jué)，這當(dāng)然是一個(gè)主要的因素。另外，在靜力學(xué)中作為一個(gè)主動(dòng)的參與者，當(dāng)我們舉起重物時(shí)，可以明顯地感覺(jué)到自己在做某件事情。力的概念就是從這種用力時(shí)的感官體驗(yàn)中提取出來(lái)的。達(dá)朗貝爾提出的替代概念，即對(duì)微小位移響應(yīng)所做的虛功，很難與此產(chǎn)生聯(lián)系（具有諷刺意味的是，正是不斷做實(shí)了的虛功，解釋了我們吃力的感覺(jué)。當(dāng)我們穩(wěn)穩(wěn)地舉起一個(gè)重物時(shí)，作為對(duì)手臂發(fā)出信號(hào)的一種回應(yīng)，肌肉纖維叢收縮；手臂感受到了微小的位移，并在這個(gè)位移增大之前作出補(bǔ)償）。類(lèi)似的理由也許可以解釋為什么牛頓用“力”的概念?！傲Α背掷m(xù)被使用的原因很大一部分是由于精神上的慣性。
之前我論述了那些關(guān)于力和質(zhì)量的假設(shè)是怎樣為公式 F=ma 的內(nèi)涵賦予實(shí)質(zhì)的。我將這一系列的假設(shè)稱為“力的文化”。我提到，盡管“力的文化”中的一些元素經(jīng)常被稱為“定律”，但是用近代物理的觀點(diǎn)來(lái)看卻顯得非常奇怪。在此，我將討論其中某些假設(shè)是在什么樣的情況下如何作為近代物理基本原理之必然推論出現(xiàn)的——或者根本就不是。
第零定律批判
具有諷刺意味的是，“力的文化”中最原始的第零定律，也即質(zhì)量守恒定律，同近代物理基本原理之間存在著非常微妙的關(guān)系。
經(jīng)典力學(xué)中的質(zhì)量守恒是狹義相對(duì)論中能量守恒的一個(gè)結(jié)果嗎？表面上，這個(gè)例子或許顯得很直白。從狹義相對(duì)論我們知道，物體的質(zhì)量等于靜能量除以光速的平方（E=mc^2）；對(duì)于緩慢移動(dòng)的物體大約來(lái)說(shuō)也是這樣。因?yàn)槟芰渴且粋€(gè)守恒量，于是這個(gè)方程似乎為“力的文化”中質(zhì)量這一角色提供了一個(gè)合適的候選者，E/c^2。
但是，這個(gè)想法經(jīng)受不住嚴(yán)格的推敲。考慮到我們通常是怎樣處理基本粒子之間的反應(yīng)和衰變時(shí)，它就明顯地表現(xiàn)出邏輯上的漏洞。
為了測(cè)定可能的運(yùn)動(dòng)，我們必需確定所有進(jìn)出粒子的質(zhì)量。質(zhì)量是孤立粒子的內(nèi)稟性質(zhì)，也就是說(shuō)，所有的質(zhì)子都具有相同的質(zhì)量，而所有的電子又具有另一個(gè)相同的質(zhì)量，等等。實(shí)際上，這些粒子的能量和動(dòng)量都是由眾所周知的公式給出，運(yùn)動(dòng)是由能量守恒和動(dòng)量守恒來(lái)約束的。認(rèn)為進(jìn)入某個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的質(zhì)量的總和與離開(kāi)的質(zhì)量的總和相等基本上是不正確的。
當(dāng)然，物體速度較小時(shí)，質(zhì)量確實(shí)減少到大致等于 E/c^2 。于是，質(zhì)量不守恒的問(wèn)題可以藏掖起來(lái)，因?yàn)橹挥胁灰子X(jué)察的（細(xì)小而緩慢運(yùn)動(dòng)的）暫時(shí)變動(dòng)才昭顯它的存在?？蓡?wèn)題是力學(xué)問(wèn)題的研究注意力就放在那些暫時(shí)變動(dòng)上。也即我們還是利用能量守恒，減去質(zhì)能項(xiàng)（或者，實(shí)際上忽略它），而只保留動(dòng)能部分 E-mc^2≌1/2mv^2。但是你不能問(wèn)心無(wú)愧地從一條（相對(duì)論能量）守恒定律擠出兩條（質(zhì)量和非相對(duì)論能量）守恒定律來(lái)。將質(zhì)量守恒歸因于它與 E/c^2 近似地相等，這需要解釋一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題：為什么在各種不同的情況下，質(zhì)能被有效地禁閉，而不是變成能量的其他形式？
為了具體地從數(shù)學(xué)上描述這個(gè)問(wèn)題，考慮核反應(yīng) 2H+3H→4He+n，這個(gè)反應(yīng)是實(shí)現(xiàn)可控核聚變的關(guān)鍵。氘加上氚的總質(zhì)量比 α 粒子加上質(zhì)子的總質(zhì)量多出 17.6 Mev。假設(shè)氘和氚初始時(shí)刻處在靜止?fàn)顟B(tài)，那么, α 粒子和質(zhì)子分別具有 0.4c 以及 0.17c 的速度。
在氘氚反應(yīng)中，質(zhì)量不嚴(yán)格守恒，雖然粒子的運(yùn)動(dòng)速度并不接近光速，但仍然在此過(guò)程一開(kāi)始就產(chǎn)生了（非相對(duì)論的）動(dòng)能。相對(duì)論的能量當(dāng)然守恒，可盡管如此，卻不存在有效的方法將它分成各自守恒的兩部分。在假想實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)調(diào)整質(zhì)量，我們能夠使這個(gè)問(wèn)題在任意低速的情況下出現(xiàn)。 另外一個(gè)實(shí)現(xiàn)緩慢運(yùn)動(dòng)的方法是讓釋放出的質(zhì)能分配到眾多物體中去。
重建第零定律
狹義相對(duì)論允許質(zhì)量向能量轉(zhuǎn)化，從而原則上消滅了第零定律，但為什么大自然在是否動(dòng)用這個(gè)自由的問(wèn)題上卻又左顧右盼？而拉瓦錫在開(kāi)辟近代化學(xué)的歷史性實(shí)驗(yàn)中，又是怎樣強(qiáng)化這個(gè)實(shí)際上并不正確的中心原理（質(zhì)量守恒）的呢？
為第零定律存在合理性的適當(dāng)辯護(hù)需要求助于一些有關(guān)物質(zhì)特定的、深?yuàn)W的事實(shí)，為了解釋為什么一般物質(zhì)的大部分能量都以質(zhì)量的形式被精確地鎖定，我們首先需要了解一些有關(guān)原子核的基本性質(zhì)，因?yàn)閹缀跛械馁|(zhì)量存在于原子核中。原子核最重要的性質(zhì)是其穩(wěn)定性以及動(dòng)力學(xué)隔離。單個(gè)原子核的穩(wěn)定性是重子數(shù)守恒、電荷守恒以及核力性質(zhì)的結(jié)果，因此造就一系列的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的同位素。原子核之間的物理距離及它們之間的靜電排斥（庫(kù)侖阻礙）確保了它們之間近似的動(dòng)力學(xué)隔離。原子核基態(tài)與激發(fā)態(tài)之間的巨大能隙就是有效地利用了這種近似的動(dòng)力學(xué)隔離。因?yàn)樵雍说膬?nèi)能級(jí)不能作小的改變，所以微擾下它就一點(diǎn)也不變化。
由于絕大部分質(zhì)量也即一般物質(zhì)的能量都集中在原子核，原子核的獨(dú)立和完整——它們的穩(wěn)定性以及缺乏有效的內(nèi)部結(jié)構(gòu)——都為第零定律提供了合理性依據(jù)。但注意到，要達(dá)到這一步，我們需要量子理論和核現(xiàn)象的某些特殊性。在量子理論中才有能隙的概念，是核力的某些特殊性才保證了基態(tài)之上的能隙是如此大。如果原子核個(gè)頭可以很大，而且像液滴或者氣體那樣幾乎不具有結(jié)構(gòu)，能隙就會(huì)變小，質(zhì)能也不會(huì)如此完全地被禁閉。
放射性是破壞原子核完整性的一個(gè)例外。 更一般地說(shuō)，在核物理與粒子物理研究中遇到的那些極端情況下，動(dòng)力學(xué)隔離的假設(shè)也必須擯棄。在那些場(chǎng)合，質(zhì)量守恒完全失效。例如常見(jiàn)的衰變反應(yīng) π0→γγ 中，大質(zhì)量的 π0 粒子衰變成零質(zhì)量的光子。
單個(gè)電子的質(zhì)量如同它所帶的電荷一樣，是一個(gè)普適常量。電子不具有內(nèi)部激發(fā)，電子數(shù)也守恒（如果我們忽略弱相互作用和電子對(duì)的產(chǎn)生的話）。這些事實(shí)都根植于量子場(chǎng)論。它們一起確保了電子質(zhì)能的整體性。
在將原子核和電子組裝而成一般物質(zhì)的過(guò)程中，靜電力起到了主要的作用。我們從量子理論知道，活躍的外層電子以 0.07c 數(shù)量級(jí)的速度運(yùn)動(dòng)。這表示量級(jí)上化學(xué)能量是電子質(zhì)能的 5x10^（-5）倍，而電子質(zhì)能只是原子核質(zhì)能的一小部分。所以化學(xué)反應(yīng)只在十億分之幾的程度上改變質(zhì)能，于是拉瓦錫質(zhì)量守恒定律成立！
注意到重元素的內(nèi)殼層電子以 Zα 量級(jí)的速度運(yùn)動(dòng)，可能具有相對(duì)論效應(yīng)。但重原子的內(nèi)核（原子核加上內(nèi)殼層電子）一般保持了它的整體性，歸因于它是空間分離的并且具有大的能隙。于是，盡管原子內(nèi)核的質(zhì)能不是嚴(yán)格等于組成它的電子與原子核質(zhì)能的總和，但它是守恒的。
綜合以上討論，我們通過(guò)考察原子核、電子和重原子的內(nèi)核的完整性以及這些“積木”的緩慢運(yùn)動(dòng)，從而確立了牛頓第零定律的合理性，導(dǎo)致大能隙的量子理論為完整性提供了的基礎(chǔ)；而精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù) α 為一小數(shù)值則保證了運(yùn)動(dòng)的緩慢。
牛頓將質(zhì)量定義為“物質(zhì)的量”，并且假設(shè)它守恒。這種表述的內(nèi)涵是構(gòu)造物質(zhì)的過(guò)程僅表現(xiàn)為“積木”的重新排布，不涉及關(guān)產(chǎn)生或消滅；同時(shí)，物體的質(zhì)量是全體“積木”質(zhì)量的總和。我們現(xiàn)在可以明白，何以從現(xiàn)代基本理論的觀點(diǎn)來(lái)看，如果“ 積木”是原子核、重的原子內(nèi)核和電子的話，前述這些假設(shè)依然構(gòu)成絕佳的近似。
如果我們?cè)囍酶镜摹胺e木”（質(zhì)子和中子）代替原子核，會(huì)發(fā)現(xiàn)質(zhì)量并不是嚴(yán)格可加的。如果我們?cè)偾斑M(jìn)一步到夸克和膠子層次，則發(fā)現(xiàn)原子核的質(zhì)量很大程度上來(lái)自純能量。
質(zhì)量和重力
表面上，對(duì)經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)量的概念進(jìn)行復(fù)雜而不精確的辯護(hù)形成了一個(gè)悖論：這個(gè)搖搖晃晃的結(jié)構(gòu)怎樣成功地支撐起極其精確而又成功的天體力學(xué)的預(yù)言的呢？答案是，它繞開(kāi)了質(zhì)量的概念。天體力學(xué)中的力是引力，并且與質(zhì)量成正比，于是方程 F=ma 兩邊的 m 就可以消去。 從描述引力引起的運(yùn)動(dòng)的方程兩邊消去質(zhì)量是廣義相對(duì)論的基本原理。在廣義相對(duì)論中，路徑被視為彎曲時(shí)空中的測(cè)地線，而不涉及到質(zhì)量。
不同于粒子對(duì)重力的響應(yīng)，粒子施加的引力只是近似正比于其自身的質(zhì)量；嚴(yán)格版本的愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程將時(shí)空曲率與能量-動(dòng)量密度聯(lián)系起來(lái)。就重力而言，還沒(méi)有能繞開(kāi)能量的對(duì)物質(zhì)的量的測(cè)量；一般物質(zhì)的能量由質(zhì)能關(guān)系來(lái)支配是不切實(shí)際的。
第三和第四定律
第三和第四定律分別是動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒的近似說(shuō)法。在近代物理的基本原理中，這些偉大的守恒律反映了物理定律在平移和旋轉(zhuǎn)下的對(duì)稱性。因?yàn)檫@些守恒律比通常用來(lái)“推導(dǎo)”出力的那些假設(shè)要精確和深刻得多，則假設(shè)就真正成了“不合時(shí)宜”。我相信它們應(yīng)該帶著應(yīng)有的榮譽(yù)退出舞臺(tái)了。
牛頓為他的第三定律這樣爭(zhēng)辯：具有未被平衡的內(nèi)力的系統(tǒng)會(huì)自發(fā)地開(kāi)始加速，然而“這一現(xiàn)象從未被觀察到”。但這種辯解實(shí)際上是直接導(dǎo)出了動(dòng)量守恒定律。 類(lèi)似地，可以從物體不會(huì)自發(fā)旋轉(zhuǎn)起來(lái)這一現(xiàn)象“ 推導(dǎo)”出角動(dòng)量守恒。當(dāng)然，純粹從教學(xué)的觀點(diǎn)，可以指出作用-反作用系統(tǒng)以及二體中心力是滿足守恒律的簡(jiǎn)單途徑。
默認(rèn)的簡(jiǎn)單性
一些關(guān)于力這個(gè)簡(jiǎn)單事實(shí)的默認(rèn)假設(shè)在我們頭腦中已經(jīng)根深蒂固了，以至于我們很容易就認(rèn)為它們是理所當(dāng)然的。然而，它們具有深?yuàn)W的基礎(chǔ)。
在計(jì)算力的時(shí)候，我們只將臨近的物體考慮在內(nèi)。為什么可以這樣？包含了狹義相對(duì)論和量子力學(xué)基本要求的量子場(chǎng)論之局域性原理給出了某點(diǎn)上能量和動(dòng)量（當(dāng)然了，也就是力）的只依賴于臨近該點(diǎn)的物體位置的表達(dá)式。 甚至，所謂的長(zhǎng)程電相互作用和引力（實(shí)際上 1/r^2 仍然隨著距離增大而迅速減?。┮膊贿^(guò)反映了耦合規(guī)范場(chǎng)及其協(xié)變導(dǎo)數(shù)局域的特殊性質(zhì)。
類(lèi)似地，不存在相當(dāng)大的多體作用力與恰當(dāng)?shù)模芍卣模┝孔訄?chǎng)論不能支持它們這一事實(shí)相聯(lián)系。
如我們所見(jiàn)，力的概念定義了一種文化。它既包含了在適當(dāng)條件下我們可以從近代物理基礎(chǔ)得到的近似，也包含了從經(jīng)驗(yàn)中抽象出的略嫌粗放的推廣（例如關(guān)于摩擦力和彈性行為的所謂的“定律”）。
上述討論過(guò)程也讓我們清楚地明白，關(guān)于質(zhì)量 m 也存在著一個(gè)較小的但非平凡的文化。確實(shí)，一般物質(zhì)的質(zhì)量守恒為物理定律的呈展提供了一個(gè)絕佳而又有啟發(fā)性的例子。一句簡(jiǎn)單的表述就抓住了大范圍規(guī)律性的要點(diǎn)，而此規(guī)律性的近代物理基礎(chǔ)是堅(jiān)實(shí)的但也是復(fù)雜的。 在近代物理中，質(zhì)量守恒的想法是非常錯(cuò)誤的。
近代量子色動(dòng)力學(xué)的一大成就就是用質(zhì)量嚴(yán)格為零的膠子和質(zhì)量非常小的 u 夸克、d 夸克構(gòu)建了在一般物質(zhì)中占質(zhì)量99%的質(zhì)子和中子。為了用近代的觀點(diǎn)來(lái)解釋為什么質(zhì)量守恒通常是一個(gè)正確的近似，我們需要用到量子色動(dòng)力學(xué)和量子電動(dòng)力學(xué)的特別的、深層次的性質(zhì)，包括量子色動(dòng)力學(xué)中大能隙的出現(xiàn)以及量子電動(dòng)力學(xué)中精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)是一個(gè)小的數(shù)值。
當(dāng)然，牛頓和拉瓦錫對(duì)所有的這一切一無(wú)所知。他們將質(zhì)量守恒視為一個(gè)基本的原理。不過(guò)，他們這樣做對(duì)了。運(yùn)用這一原理，他們得以在分析運(yùn)動(dòng)和化學(xué)變化中取得了非凡的進(jìn)步。盡管這一原理根本不成立，可它是（而且一直都是）許多定量應(yīng)用的一個(gè)恰當(dāng)?shù)幕A(chǔ)。拋棄這一原理是不可想像的。它本身是一件無(wú)價(jià)的文化的產(chǎn)物，而且，盡管（實(shí)際上部分是因?yàn)椋┢涑收沟奶匦?，它還提供了我們對(duì)世界運(yùn)轉(zhuǎn)方式的深刻認(rèn)識(shí)。
加速度的文化
那么關(guān)于加速度呢？加速度也同樣被附上一種文化。 為了得到加速度，我們被教導(dǎo)去考慮物體空間位置隨時(shí)間的變化，去求二階微商。用現(xiàn)代的觀點(diǎn)來(lái)看，這個(gè)“處方”存在著嚴(yán)重的問(wèn)題。
量子力學(xué)中，物體不具有確定的位置；量子場(chǎng)論中，粒子不停地產(chǎn)生和湮滅；而在量子引力中，空間存在漲落而時(shí)間難以定義。顯然，就算為了讓加速度的定義不太離譜也要引入問(wèn)題多多的假設(shè)和近似。
然而，我們卻清楚地知道這些概念的適用范圍。關(guān)于物體我們將有一個(gè)呈展的、近似的概念。物理空間也會(huì)用承載歐氏幾何的歐氏三維空間 R3 加以模型化。 這一非常成功的空間模型早在歐氏幾何成型以前，在測(cè)量以及民用工程上就被持續(xù)使用了上千年。
時(shí)間由一維的連續(xù)實(shí)數(shù) R1 進(jìn)行模擬。在拓?fù)鋵W(xué)的層次上來(lái)講，時(shí)間的這一模型進(jìn)入了我們?cè)嫉闹庇X(jué)——直覺(jué)上我們將世界分成過(guò)去和將來(lái)。我相信，時(shí)間具有可度量的結(jié)構(gòu)，即時(shí)間不僅可以被排序，而且也可以被分成具有確定大小的間隔，是一個(gè)不太久遠(yuǎn)的創(chuàng)意。這個(gè)想法只在伽利略運(yùn)用鐘擺（以及他的脈搏）的時(shí)候才開(kāi)始出現(xiàn)。
相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是如此為人熟知并且發(fā)展完善，以至于它們可以（事實(shí)也是如此）在計(jì)算機(jī)程序中被常規(guī)地使用。但這絕不意味著它們是想當(dāng)然的?！斑B續(xù)”的概念就讓古希臘人大為苦惱。 著名的芝諾悖論就反映了這樣的思想斗爭(zhēng)。古希臘人對(duì)實(shí)數(shù)的代數(shù)處理從來(lái)沒(méi)有從心里感到舒服過(guò)。連續(xù)量通常被表示為幾何上的間隔，即使這種表示方法意味著為實(shí)施簡(jiǎn)單的代數(shù)操作須作笨拙的幾何構(gòu)造。
近代數(shù)學(xué)分析的奠基人（笛卡爾、牛頓、萊布尼茲、歐拉等）大體上都不受這樣的思想約束，他們處理缺乏嚴(yán)格定義的無(wú)窮小量時(shí)相信自己的直覺(jué)。在現(xiàn)今普通數(shù)學(xué)課程中講授的程度上之適當(dāng)嚴(yán)密性（意指被抱怨得很多的 ε 和 δ），19世紀(jì)已被引入該領(lǐng)域。
20世紀(jì)，當(dāng)實(shí)數(shù)和幾何得以建立的基本概念上升到集合論以及最終的數(shù)理邏輯的層次上時(shí)，“不適當(dāng)”的嚴(yán)密性也被引入了。在《數(shù)學(xué)原理》中，羅素和懷特海德在證明 1+1=2 以前展開(kāi)了長(zhǎng)達(dá)375頁(yè)的密集的數(shù)學(xué)討論。公平地說(shuō)，如果得到那樣一個(gè)結(jié)果是最終目的的話，他們的處理可以縮減很大一部分。但無(wú)論如何，從數(shù)理邏輯出發(fā)，對(duì)實(shí)數(shù)做出合適的定義需要做艱苦而復(fù)雜的工作。有了整數(shù)，下一步就該考慮有理數(shù)以及它們的排序。然后要填補(bǔ)他們之間的空白，使得任何有界的遞增數(shù)列都有一個(gè)極限，那樣才算完整地構(gòu)造了實(shí)數(shù)。 最終（ 這也是最困難的部分），你必須證明得到的系統(tǒng)能支撐代數(shù)，并且是自洽的。
也許這種復(fù)雜性暗示著時(shí)空的實(shí)數(shù)模型是一個(gè)呈展的概念，某一天可以籍由邏輯上簡(jiǎn)單的為物理而提出的本源性的東西將其推導(dǎo)出來(lái)。同時(shí)，對(duì)實(shí)數(shù)構(gòu)造的詳細(xì)考察發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)的一些自然變種，著名的有康威的包括無(wú)窮小量（比任何有理數(shù)都?。┑某瑢?shí)數(shù)，都可以看作合法的量。 這些形式上的、性質(zhì)與普通實(shí)數(shù)同樣自然和優(yōu)雅的量或許會(huì)幫助我們描述自然界？時(shí)間會(huì)給出答案。
即使是數(shù)理邏輯的這種“不適當(dāng)?shù)膰?yán)密性”也沒(méi)有達(dá)到理想的嚴(yán)密程度。哥德?tīng)栕C明了理想的嚴(yán)密程度是不可能達(dá)到的，因?yàn)椴淮嬖谶m度復(fù)雜的、自洽的公理系統(tǒng)可以用來(lái)證明它自身的自洽性。
但是，對(duì)'加速度的文化”加以定義和合理化時(shí)所遇到的不易理解的缺陷與將“力的文化”合理化時(shí)遇到的相對(duì)平庸和顯而易見(jiàn)的困難顯然產(chǎn)生于不同的層次。 加速度的文化可以不太失真地轉(zhuǎn)換成 C 語(yǔ)言或者 Fortran 語(yǔ)言。這種翻譯的完整和精確給我們?cè)O(shè)定了一個(gè)鼓舞人心的基準(zhǔn)。
污點(diǎn)和焦點(diǎn)
這篇文章的主題是公式 F=ma，一個(gè)有時(shí)被表示成可以描述自然界運(yùn)算法則的縮影，但實(shí)際上它并不是一個(gè)可以被機(jī)械（雙關(guān)語(yǔ)，故意的）套用的運(yùn)算法則，它更像是一門(mén)語(yǔ)言，我們可以通過(guò)它輕松地表達(dá)關(guān)于世界的重要事實(shí)。然而，這不是暗示它缺乏內(nèi)容。它被賦予了內(nèi)容，首先，通過(guò)這門(mén)語(yǔ)言中一些強(qiáng)有力的一般性陳述（例如第零定律、動(dòng)量守恒定律、萬(wàn)有引力定律、力與附近源之間的必要關(guān)聯(lián)），然后是通過(guò)唯象的觀察。后者包括許多（雖然不是所有）有關(guān)材料科學(xué)的定律，都是用力的語(yǔ)言更容易表達(dá)的。
另一主題是說(shuō) F=ma 不是任何意義上的最終真理。從近代基礎(chǔ)物理我們能理解，它是如何在廣泛但卻有限的情況下是作為近似出現(xiàn)的。同樣，這并不妨礙它特別有用：它的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)是使我們免于承受為了追求不相關(guān)的精確而帶來(lái)的不必要的麻煩。
這樣看來(lái)，物理定律 F=ma 要比通常認(rèn)為的那樣顯得柔性一點(diǎn)。它與其他律條確實(shí)具有一系列的共同之處。例如法學(xué)和道德上的律條，其中術(shù)語(yǔ)的意思都是在使用中逐漸成形的。 在那些領(lǐng)域中，宣稱最終真理都會(huì)受到廣泛的質(zhì)疑；可是雖然如此，我們?nèi)匀环e極地力圖把“這些律條”的明白易懂和顯而易見(jiàn)推向極至。 客觀地說(shuō)，我們物理學(xué)中力的文化就具有相當(dāng)克制但實(shí)際上也野心勃勃的特點(diǎn)。一旦它不再被視作僵死的塑像，給它安上腿，將之隔開(kāi)來(lái)看待，它便成為一個(gè)對(duì)更一般意義上的求知者來(lái)說(shuō)非常鼓舞人心的模型。
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