淺談函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性
數(shù)學組 包君
函數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，函數(shù)的基礎知識在數(shù)學和其他許多學科中有著廣泛的應用，函數(shù)是進一步學習數(shù)學的重要基礎知識，函數(shù)的概念是運動變化和對立統(tǒng)一等觀點在數(shù)學中的具體體現(xiàn)，函數(shù)概念及其反映出的數(shù)學思想方法已廣泛滲透到數(shù)學的各個領域，而函數(shù)中的兩大性質(zhì)：單調(diào)性與奇偶性，顯得尤為重要。下面結(jié)合教學中的實際談以下幾點心得體會。
一． 學生在函數(shù)單調(diào)性與奇偶性判定中的薄弱環(huán)節(jié)
（1）單調(diào)性的判定
一般步驟是： ① 任取a<x1<x2<b； ② 作差f(x1)-f(x2)并將差式變形； ③ 判斷f(x1)-f(x2)的正負； ④結(jié)論。在第 ② 步作差變形時，學生們往往主觀判斷正負，對差式不變形或化簡不到恰當?shù)男问?。教學中應強調(diào)此環(huán)節(jié)，教會學生用因式分解、配方、通分等方法，將差式化為僅含x1-x2，x1+x2 ，x1x2等較為簡單形式的綜合。
例1：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f(x)=-x3+1 在(-∞,+∞)上是減函數(shù)。
學生往往化簡到(x2-x1)(x12+x1x2+x22)就開始下結(jié)論，沒能進一步對x12+x1x2+x22進行探究，應加強引導及訓練。
（2）奇偶性的判定
一般步驟是： ① 看定義域是否關(guān)于原點對稱； ② 驗證f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)對定義域中的任意x是否恒成立； ③ 結(jié)論。學生往往忽略第 ① 步，不考慮定義域是否關(guān)于原點對稱，拿到題目就判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系，對與奇偶性判定的前提條件不加考慮，有時寫出不必要的 ② ③ 兩步，從而導出錯誤結(jié)論。
在教學時應強調(diào)：一個函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱，換言之，所給函數(shù)的定義域若不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)必不具有奇偶性。
二． 奇偶函數(shù)的定量計算
利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，奇函數(shù)f(-x)=-f(x)，偶函數(shù)f(x)=f(-x)來進行一些計算。
例3：若f(x)=ax7+bx5+cx3+dx+8，f(-5)=-15，求f(5)
學生往往將數(shù)據(jù)代入，不假思索。在教學中注重引導學生創(chuàng)造條
件，進行奇偶函數(shù)的構(gòu)造，培養(yǎng)學生的數(shù)學建構(gòu)的思維品質(zhì)。
三． 函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合
本章一個重要的綜合題型，即為函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，學生在進行操作時，往往倍感困難。在教學中應講明：奇函數(shù)在對稱區(qū)間，同增減；偶函數(shù)在對稱區(qū)間，異增減，并結(jié)合奇偶函數(shù)的圖形對稱性質(zhì)來解釋說明。
例4：定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是單調(diào)遞增的，若f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3)，求實數(shù)a的取值范圍.
我在今后的教學中，應注重學生數(shù)學思維品質(zhì)的培養(yǎng)，經(jīng)常對自己的教學進行反思，努力地提高自我的教學業(yè)務水平。
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