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課程教材研究所　王永春一、符號(hào)化思想二、化歸思想三、模型思想四、推理思想五、方程和函數(shù)思想六、幾何變換思想七、分類(lèi)思想八、統(tǒng)計(jì)思想九、概率思想十、分析法和綜合法十一、反證法十二、集合思想十三、數(shù)形結(jié)合思想十四、極限思想十五、假設(shè)法數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想的理論和抽象程度要高一些，而數(shù)學(xué)方法的實(shí)踐性更強(qiáng)一些。人們實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想往往要靠一定的數(shù)學(xué)方法；而人們選擇數(shù)學(xué)方法，又要以一定的數(shù)學(xué)思想為依據(jù)。因此，二者是有密切聯(lián)系的。我們把二者合稱(chēng)為數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，那么，要想學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，就要深入到數(shù)學(xué)的“靈魂深處”。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在總體目標(biāo)中明確提出：“學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能。”這一總體目標(biāo)貫穿于小學(xué)和初中，這充分說(shuō)明了數(shù)學(xué)思想方法的重要性。在小學(xué)數(shù)學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定律的理解，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力和思維能力，也是小學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。同時(shí)，也能為初中數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)打下較好的基礎(chǔ)。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想方法主要有符號(hào)化思想、化歸思想、類(lèi)比思想、歸納思想、分類(lèi)思想、方程思想、集合思想、函數(shù)思想、一一對(duì)應(yīng)思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、演繹推理思想、變換思想、統(tǒng)計(jì)與概率思想等等。為了使廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中能很好地滲透這些數(shù)學(xué)思想方法，筆者把這些思想方法比較系統(tǒng)地進(jìn)行概括和梳理，明晰這些思想方法的概念，整理它們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)中的應(yīng)用，以及了解每個(gè)思想方法的適當(dāng)拓展。一、符號(hào)化思想1. 符號(hào)化思想的概念。數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)世界是一個(gè)符號(hào)化的世界，數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示、計(jì)算、推理和解決問(wèn)題的工具，符號(hào)起到了非常重要的作用；因?yàn)閿?shù)學(xué)有了符號(hào)，才使得數(shù)學(xué)具有簡(jiǎn)明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點(diǎn)，同時(shí)也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展；國(guó)際通用的數(shù)學(xué)符號(hào)的使用，使數(shù)學(xué)成為國(guó)際化的語(yǔ)言。符號(hào)化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。2. 如何理解符號(hào)化思想。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)比較重視培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，并提出了幾點(diǎn)要求。那么，在小學(xué)階段，如何理解這一重要思想呢？下面結(jié)合案例做簡(jiǎn)要解析。第一，能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)表示。這是一個(gè)從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過(guò)程。如通過(guò)幾組具體的兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置和不變，歸納出加法交換律，并用符號(hào)表示：a+b=b+a。再如在長(zhǎng)方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長(zhǎng)方形的面積公式，并用符號(hào)表示：S＝ab。這是一個(gè)符號(hào)化的過(guò)程，同時(shí)也是一個(gè)模型化的過(guò)程。第二，理解符號(hào)所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。這是一個(gè)從一般到特殊、從理論到實(shí)踐的過(guò)程。包括用關(guān)系式、表格和圖象等表示情境中數(shù)量間的關(guān)系。如假設(shè)一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是a，那么4a就表示該正方形的周長(zhǎng)，a2表示該正方形的面積。這同樣是一個(gè)符號(hào)化的過(guò)程，同時(shí)也是一個(gè)解釋和應(yīng)用模型的過(guò)程。第三，會(huì)進(jìn)行符號(hào)間的轉(zhuǎn)換。數(shù)量間的關(guān)系一旦確定，便可以用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)，但數(shù)學(xué)符號(hào)不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛汽車(chē)的行駛時(shí)速為定值80千米，那么該輛汽車(chē)行駛的路程和時(shí)間成正比，它們之間的數(shù)量關(guān)系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號(hào)是可以相互轉(zhuǎn)換的。第四，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號(hào)所表示的問(wèn)題。這是指完成符號(hào)化后的下一步工作，就是進(jìn)行數(shù)學(xué)的運(yùn)算和推理。能夠進(jìn)行正確的運(yùn)算和推理是非常重要的數(shù)學(xué)基本功，也是非常重要的數(shù)學(xué)能力。3. 符號(hào)化思想的具體應(yīng)用。數(shù)學(xué)的發(fā)展雖然經(jīng)歷了幾千年，但是數(shù)學(xué)符號(hào)的規(guī)范和統(tǒng)一卻經(jīng)歷了比較慢長(zhǎng)的過(guò)程。如我們現(xiàn)在通用的算術(shù)中的十進(jìn)制計(jì)數(shù)符號(hào)數(shù)字0~9于公元8世紀(jì)在印度產(chǎn)生，經(jīng)過(guò)了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過(guò)幾百年。代數(shù)在早期主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀(jì)韋達(dá)、笛卡爾和萊布尼茲等數(shù)學(xué)家逐步引進(jìn)和完善了代數(shù)的符號(hào)體系。符號(hào)在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用如下表。知識(shí)領(lǐng)域知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例應(yīng)用拓展數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示阿拉伯?dāng)?shù)字：0~9中文數(shù)字：一~十百分號(hào)：％千分號(hào)：‰用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運(yùn)算+、－、×、÷、( ) ﹝﹞﹛﹜2（平方）3（立方）數(shù)的大小關(guān)系＝、≈、>、<≥、≤、≠運(yùn)算定律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac方程ax+b=c數(shù)量關(guān)系時(shí)間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價(jià)和總價(jià)：a=np正比例關(guān)系：y/x=k反比例關(guān)系：xy=k用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖象表示數(shù)量間的關(guān)系空間與圖形用字母表示計(jì)量單位長(zhǎng)度單位：km、m、dm、cm、mm面積單位：km2、m2、dm2、cm2、mm2質(zhì)量單位：t、kg、g用符號(hào)表示圖形用字母表示點(diǎn)：三角形ABC用符號(hào)表示角：∠1、∠2、∠3、∠4△ABC線段AB直線CD直線 L兩線段平行：AB∥CD兩線段垂直：AB⊥CDABCD用字母表示公式三角形面積：S＝ab平行四邊形面積：S＝ah梯形面積：S＝(a+b)h圓周長(zhǎng)：C＝2πr圓面積：S＝πr?長(zhǎng)方體體積：v=abc正方體體積：v=a?圓柱體積：v=sh圓錐體積：v=sh統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表用統(tǒng)計(jì)圖表描述和分析各種信息可能性用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小4．符號(hào)化思想的教學(xué)。符號(hào)化思想作為數(shù)學(xué)最基本的思想之一，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)作為必學(xué)的內(nèi)容，并提出了具體要求，足以證明它的重要性。教師在日常教學(xué)中要給予足夠的重視，并落實(shí)到課堂教學(xué)目標(biāo)中。要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生在探索中歸納和理解數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋和應(yīng)用。學(xué)生只有理解和掌握了數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵和思想，才有可能利用它們進(jìn)行正確的運(yùn)算、推理和解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)符號(hào)是人們?cè)谘芯楷F(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的過(guò)程中產(chǎn)生的，它來(lái)源于生活，但并不是生活中真實(shí)的物質(zhì)存在，而是一種抽象概括。如數(shù)字1，它可以表示現(xiàn)實(shí)生活中任何數(shù)量是一個(gè)的物體的個(gè)數(shù)，是一種高度的抽象概括，具有一定的抽象性。一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)一旦產(chǎn)生并被廣泛應(yīng)用，它就具有明確的含義，就能夠進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理證明，因而它具有精確性。數(shù)學(xué)能夠幫助人們完成大量的運(yùn)算和推理證明，但如果沒(méi)有簡(jiǎn)捷的思想和符號(hào)的參與，它的工作量及難度也是很大的，讓人望而生畏。一旦簡(jiǎn)捷的符號(hào)參與了運(yùn)算和推理證明，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷性就體現(xiàn)出來(lái)了。如歐洲人12世紀(jì)以前基本上用羅馬數(shù)字進(jìn)行計(jì)數(shù)和運(yùn)算，由于這種計(jì)數(shù)法不是十進(jìn)制的，大數(shù)的四則運(yùn)算非常復(fù)雜，嚴(yán)重阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展和普及。直到12世紀(jì)印度數(shù)字及十進(jìn)制計(jì)數(shù)法傳入歐洲，才使得算術(shù)有了較快發(fā)展和普及。數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展也經(jīng)歷了從各自獨(dú)立到逐步規(guī)范、統(tǒng)一和國(guó)際化的過(guò)程，最明顯的就是早期的數(shù)字符號(hào)從各自獨(dú)立的埃及數(shù)字、巴比倫數(shù)字、中國(guó)數(shù)字、印度數(shù)字和羅馬數(shù)字到統(tǒng)一的阿拉伯?dāng)?shù)字。數(shù)學(xué)符號(hào)經(jīng)歷了從發(fā)明到應(yīng)用再到統(tǒng)一的逐步完善的過(guò)程，并促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展；反之，數(shù)學(xué)的發(fā)展也促進(jìn)了符號(hào)的發(fā)展。因而，數(shù)學(xué)和符號(hào)是相互促進(jìn)發(fā)展的，而且這種發(fā)展可能是一個(gè)慢長(zhǎng)的過(guò)程。因而，符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)也應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程中，并需要一定的訓(xùn)練才能達(dá)到比較熟練的程度。二、化歸思想1. 化歸思想的概念。人們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果直接應(yīng)用已有知識(shí)不能或不易解決該問(wèn)題時(shí)，往往將需要解決的問(wèn)題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問(wèn)題，最終使原問(wèn)題得到解決，把這種思想方法稱(chēng)為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。從小學(xué)到中學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)一個(gè)由易到難、從簡(jiǎn)到繁的過(guò)程；然而，人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解和掌握數(shù)學(xué)的過(guò)程中，卻經(jīng)常通過(guò)把陌生的知識(shí)轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)、把繁難的知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的知識(shí)，從而逐步學(xué)會(huì)解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，化歸既是一般化的數(shù)學(xué)思想方法，具有普遍的意義；同時(shí)，化歸思想也是攻克各種復(fù)雜問(wèn)題的法寶之一，具有重要的意義和作用。2. 化歸所遵循的原則。化歸思想的實(shí)質(zhì)就是在已有的簡(jiǎn)單的、具體的、基本的知識(shí)的基礎(chǔ)上，把未知化為已知、把復(fù)雜化為簡(jiǎn)單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規(guī)化為常規(guī)，從而解決各種問(wèn)題。因此，應(yīng)用化歸思想時(shí)要遵循以下幾個(gè)基本原則：（1）數(shù)學(xué)化原則，即把生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，從而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)找到解決問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一就是要利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的各種問(wèn)題，課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)的目標(biāo)之一就是培養(yǎng)實(shí)踐能力。因此，數(shù)學(xué)化原則是一般化的普遍的原則之一。（2）熟悉化原則，即把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題。人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，就是一個(gè)不斷面對(duì)新知識(shí)的過(guò)程；解決疑難問(wèn)題的過(guò)程，也是一個(gè)面對(duì)陌生問(wèn)題的過(guò)程。從某種程度上說(shuō)，這種轉(zhuǎn)化過(guò)程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)既是一個(gè)探索的過(guò)程，又是一個(gè)創(chuàng)新的過(guò)程；與課程標(biāo)準(zhǔn)提倡培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神是一致的。因此，學(xué)會(huì)把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，是一個(gè)比較重要的原則。（3）簡(jiǎn)單化原則，即把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。對(duì)解決問(wèn)題者而言，復(fù)雜的問(wèn)題未必都不會(huì)解決，但解決的過(guò)程可能比較復(fù)雜。因此，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，尋求一些技巧和捷徑，也不失為一種上策。（4）直觀化原則，即把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一便是它具有抽象性。有些抽象的問(wèn)題，直接分析解決難度較大，需要把它轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，或者借助直觀手段，比較容易分析解決。因而，直觀化是中小學(xué)生經(jīng)常應(yīng)用的方法，也是重要的原則之一。3. 化歸思想的具體應(yīng)用。學(xué)生面對(duì)的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以簡(jiǎn)單地分為兩類(lèi)：一類(lèi)是直接應(yīng)用已有知識(shí)便可順利解答的問(wèn)題；另一種是陌生的知識(shí)、或者不能直接應(yīng)用已有知識(shí)解答的問(wèn)題，需要綜合地應(yīng)用已有知識(shí)或創(chuàng)造性地解決的問(wèn)題。如知道一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，求它的面積，只要知道長(zhǎng)方形面積公式的人，都可以計(jì)算出來(lái)，這是第一類(lèi)問(wèn)題；如果不知道平行四邊形的面積公式，通過(guò)割補(bǔ)平移變換把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，推導(dǎo)出它的面積公式，再計(jì)算面積，這是第二類(lèi)問(wèn)題。對(duì)于廣大中小學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中所遇到的很多問(wèn)題都可以歸為第二類(lèi)問(wèn)題，并且要不斷地把第二類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第一類(lèi)問(wèn)題。解決問(wèn)題的過(guò)程，從某種意義上來(lái)說(shuō)就是不斷地轉(zhuǎn)化求解的過(guò)程，因此，化歸思想應(yīng)用非常廣泛。化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用如下表。知識(shí)領(lǐng)域知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例數(shù)與代數(shù)數(shù)的意義整數(shù)的意義：用實(shí)物操作和直觀圖幫助理解小數(shù)的意義：用直觀圖幫助理解分?jǐn)?shù)的意義：用直觀圖幫助理解負(fù)數(shù)的意義：用數(shù)軸等直觀圖幫助理解四則運(yùn)算的意義乘法的意義：若干個(gè)相同加數(shù)相加的一種簡(jiǎn)便算法。除法的意義：乘法的逆運(yùn)算。四則運(yùn)算的法則整數(shù)加減法：用實(shí)物操作和直觀圖幫助理解算法。小數(shù)加減法：小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，然后按照整數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算。小數(shù)乘法：先按照整數(shù)乘法的方法進(jìn)行計(jì)算，再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)。小數(shù)除法：把除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，基本按照整數(shù)除法的方法進(jìn)行計(jì)算，需要注意被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)與商的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。分?jǐn)?shù)加減法：異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法。分?jǐn)?shù)除法：轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法。四則運(yùn)算各部分間的關(guān)系a + b = c, c －a = bab=c, a=c÷b簡(jiǎn)便計(jì)算利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算方程解方程：解方程的過(guò)程，實(shí)際就是不斷把方程轉(zhuǎn)化為未知數(shù)前邊的系數(shù)是1的過(guò)程（x=a）。解決問(wèn)題的策略化繁為簡(jiǎn)：植樹(shù)問(wèn)題、雞兔同籠問(wèn)題等。化抽象為直觀：用線段圖、圖表、圖像等直觀表示數(shù)量之間的關(guān)系、幫助推理。化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題：化一般問(wèn)題為特殊問(wèn)題：化未知問(wèn)題為已知問(wèn)題：空間與圖形三角形內(nèi)角和通過(guò)操作把三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為平角多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形求內(nèi)角和面積公式正方形的面積：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形求面積平行四邊形面積：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形求面積三角形的面積：轉(zhuǎn)化為平行四邊形求面積梯形的面積：轉(zhuǎn)化為平行四邊形求面積圓的面積：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形求面積組合圖形的面積：轉(zhuǎn)化為求基本圖形的面積體積公式正方體的體積：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體求體積圓柱的體積：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體求體積圓錐體積：轉(zhuǎn)化為圓柱求體積統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表運(yùn)用不同的統(tǒng)計(jì)圖表描述各種數(shù)據(jù)可能性運(yùn)用不同的方式表示可能性的大小4．解決問(wèn)題中的化歸策略。（1）化抽象問(wèn)題為直觀問(wèn)題。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是它具有很強(qiáng)的抽象性，這是每個(gè)想學(xué)好數(shù)學(xué)的人必須面對(duì)的問(wèn)題。從小學(xué)到初中，再到高中，數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象性不斷加強(qiáng)，學(xué)生的抽象思維能力在不斷接受挑戰(zhàn)。如果能把比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為操作或直觀的問(wèn)題，那么不但使得問(wèn)題容易解決，經(jīng)過(guò)不斷的抽象→直觀→抽象的訓(xùn)練，學(xué)生的抽象思維能力也會(huì)逐步提高。下面舉例說(shuō)明。案例：分析：此問(wèn)題通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)的。但是對(duì)于小學(xué)和初中的學(xué)生來(lái)說(shuō)，還沒(méi)有學(xué)習(xí)等比數(shù)列求和公式。如果把一條線段看作1, 先取它的一半表示，再取余下的一半的一半表示，這樣不斷地取下去，最終相當(dāng)于取了整條線段。因此，上式的結(jié)果等于1, 這樣利用直觀手段解決了高中生才能解決的問(wèn)題。（2）化繁為簡(jiǎn)的策略。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題比較復(fù)雜，直接解答過(guò)程會(huì)比較繁瑣，如果在結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系相似的情況下，從更加簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，找到解決問(wèn)題的方法或建立模型，并進(jìn)行適當(dāng)檢驗(yàn)，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)便得到解決。下面舉例加以說(shuō)明。案例１：把186拆分成兩個(gè)自然數(shù)的和，怎樣拆分才能使拆分后的兩個(gè)自然數(shù)的乘積最大？187呢？分析：此題中的數(shù)比較大，如果用枚舉法一個(gè)一個(gè)地猜測(cè)驗(yàn)證，比較繁瑣。如果從比較小的數(shù)開(kāi)始枚舉，利用不完全歸納法，看看能否找到解決方法。如從10開(kāi)始，10可以分成：1和9, 2和8, 3和7, 4和6, 5 和5。它們的積分別是：9, 16, 21, 24, 25?？梢猿醪秸J(rèn)為拆分成相等的兩個(gè)數(shù)的乘積最大，如果不確定，還可以再舉一個(gè)例子，如12可以分成：1和11, 2和10, 3和9, 4和8, 5和7, 6和6, 它們的積分別是：11, 20, 27, 32, 35, 36。由此可以推斷：把186拆分成93和93, 93和93的乘積最大，乘積為8649。適當(dāng)?shù)丶右詸z驗(yàn)，如92和94的乘積為8648, 90和96的乘積為8640, 都比8649小。因?yàn)?87是奇數(shù)，無(wú)法拆分成相等的兩個(gè)數(shù)，只能拆分成相差1的兩個(gè)數(shù)，這時(shí)它們的乘積最大。不再舉例驗(yàn)證。案例2：你能快速口算85×85＝，95×95＝，105×105＝嗎？分析：仔細(xì)觀察可以看出，此類(lèi)題有些共同特點(diǎn)，每個(gè)算式中的兩個(gè)因數(shù)相等，并且個(gè)位數(shù)都是5。如果不知道個(gè)位數(shù)是5的相等的兩個(gè)數(shù)的乘積的規(guī)律，直接快速口算是有難度的。那么，此類(lèi)題有什么技巧呢？不妨從簡(jiǎn)單的數(shù)開(kāi)始探索，如15×15＝225,25×25＝625,35×35＝1225。通過(guò)這幾個(gè)算式的因數(shù)與相應(yīng)的積的特點(diǎn)，可以初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：個(gè)位數(shù)是5的相等的兩個(gè)數(shù)的乘積分為左右兩部分：左邊為因數(shù)中5以外的數(shù)字乘比它大1的數(shù)，右邊為25（5乘5的積）。所以85×85＝7225，95×95＝9025，105×105＝11025，實(shí)際驗(yàn)證也是如此。很多學(xué)生面對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，可能知道怎么解答，但是只要想起解答過(guò)程非常繁瑣，就會(huì)產(chǎn)生退縮情緒，或者在繁瑣的解答過(guò)程中出現(xiàn)失誤，這是比較普遍的情況。因此，學(xué)會(huì)化繁為簡(jiǎn)的解題策略，對(duì)于提高解決繁難問(wèn)題的能力大有幫助。（3）化實(shí)際問(wèn)題為特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活。與小學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)的生活中的實(shí)際問(wèn)題，多數(shù)可以用常規(guī)的小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決；但有些生活中的實(shí)際問(wèn)題表面上看是一些常用的數(shù)量，似乎能用常規(guī)的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。但真正深入分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，可能由于條件不全面而無(wú)法建立模型。這時(shí)，就需要超越常規(guī)思維模式，從另外的角度進(jìn)行分析，找到解決問(wèn)題的方法。下面舉例說(shuō)明。案例1：某旅行團(tuán)隊(duì)翻越一座山。上午9時(shí)上山，每小時(shí)行3千米，到達(dá)山頂時(shí)休息1小時(shí)。下山時(shí)，每小時(shí)行4千米，下午4時(shí)到達(dá)山底。全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米？分析：由于只知道上山和下山的速度，不知道上山和下山的具體時(shí)間，因此無(wú)法直接求出上山和下山的路程，但是知道總路程。仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：題中給出了兩個(gè)未知數(shù)量的總和以及與這兩個(gè)數(shù)量有關(guān)的一些特定的數(shù)量，如果用假設(shè)的方法，那么就類(lèi)似于雞兔同籠問(wèn)題。假設(shè)都是上山，那么總路程是18（6×3）千米，比實(shí)際路程少算了2千米，所以下山時(shí)間是2﹝2÷（4－3）﹞小時(shí)，上山時(shí)間是4小時(shí)。上山和下山的路程分別是12千米和8千米。案例2：李阿姨買(mǎi)了2千克蘋(píng)果和3千克香蕉用了11元，王阿姨買(mǎi)了同樣價(jià)格的1千克蘋(píng)果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克蘋(píng)果和香蕉各多少錢(qián)?分析：此題初看是關(guān)于單價(jià)、總價(jià)和數(shù)量的問(wèn)題，但是，由于題中沒(méi)有告訴蘋(píng)果和香蕉各自的總價(jià)是多少，無(wú)法直接計(jì)算各自的單價(jià)。認(rèn)真觀察，可以發(fā)現(xiàn)：題中分兩次給出了不同數(shù)量的蘋(píng)果和香蕉的總價(jià)，雖然題中有蘋(píng)果和香蕉各自的單價(jià)這兩個(gè)未知數(shù)，但這二者沒(méi)有直接的關(guān)系，如果用方程解決，也超出了一元一次方程的范圍。那么這樣的問(wèn)題在小學(xué)的知識(shí)范圍內(nèi)如何解決呢？利用二元一次方程組加減消元的思想，可以解決這類(lèi)問(wèn)題；具體來(lái)說(shuō)就是把兩組數(shù)量中的一個(gè)數(shù)量化成相等的關(guān)系，再相減，得到一個(gè)一元一次方程。不必列式推導(dǎo)，直接分析便可：1千克蘋(píng)果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克蘋(píng)果和4千克香蕉13元；題中已知2千克蘋(píng)果和3千克香蕉11元。用13減去11得2，所以香蕉的單價(jià)是每千克2元。再通過(guò)計(jì)算得蘋(píng)果的單價(jià)是每千克2.5元。（4）化未知問(wèn)題為已知問(wèn)題。對(duì)于學(xué)生而言，學(xué)習(xí)的過(guò)程是一個(gè)不斷面對(duì)新知識(shí)的過(guò)程，有些新知識(shí)通過(guò)某些載體直接呈現(xiàn)，如面積和面積單位，通過(guò)一些物體或圖形直接引入概念；而有些新知識(shí)可以利用已有知識(shí)通過(guò)探索，把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)。如平行四邊形面積公式的學(xué)習(xí)，通過(guò)割補(bǔ)平移，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形求面積。這種化未知為已知的策略，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常常見(jiàn)。下面舉例說(shuō)明。案例：水果商店昨天銷(xiāo)售的蘋(píng)果比香蕉的2倍多30千克，這兩種水果一共銷(xiāo)售了180千克。銷(xiāo)售香蕉多少千克？分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)列方程解決問(wèn)題時(shí)學(xué)習(xí)了最基本的有關(guān)兩個(gè)數(shù)量的一種模型：已知兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系以及這兩個(gè)數(shù)量的和或差，求這兩個(gè)數(shù)量分別是多少。題中的蘋(píng)果和香蕉的關(guān)系，不是簡(jiǎn)單的倍數(shù)關(guān)系；而是在倍數(shù)的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)條件，即蘋(píng)果比香蕉的2倍還多30千克。假如把180減去30得150，那么題目可以轉(zhuǎn)化為：如果水果商店昨天銷(xiāo)售的蘋(píng)果是香蕉的2倍，那么這兩種水果一共銷(xiāo)售了150千克。銷(xiāo)售香蕉多少千克？這時(shí)就可以列方程解決了，設(shè)未知數(shù)時(shí)要注意設(shè)誰(shuí)為x，題目求的是哪個(gè)量。這個(gè)案例能給我們什么啟示呢？教師在教學(xué)中要讓學(xué)生學(xué)習(xí)什么？學(xué)生既要學(xué)習(xí)知識(shí)，又要學(xué)習(xí)方法。學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)類(lèi)型套類(lèi)型的解題模式，更重要的是在理解和掌握最基本的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，形成遷移類(lèi)推或舉一反三的能力。教師在上面最基本的模型基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考以下幾個(gè)問(wèn)題：1. 水果商店昨天銷(xiāo)售的蘋(píng)果比香蕉的2倍少30千克，這兩種水果一共銷(xiāo)售了180千克。銷(xiāo)售蘋(píng)果多少千克？2. 水果商店昨天銷(xiāo)售的香蕉比蘋(píng)果的多30千克，這兩種水果一共銷(xiāo)售了180千克。銷(xiāo)售蘋(píng)果多少千克？3. 水果商店昨天銷(xiāo)售的香蕉比蘋(píng)果的少30千克，這兩種水果一共銷(xiāo)售了120千克。銷(xiāo)售蘋(píng)果多少千克？4. 水果商店昨天銷(xiāo)售的蘋(píng)果是香蕉的2倍，銷(xiāo)售的梨是香蕉的3倍。這三種水果一共銷(xiāo)售了180千克。銷(xiāo)售香蕉多少千克？5. 水果商店昨天銷(xiāo)售的蘋(píng)果是香蕉的2倍，銷(xiāo)售的梨是蘋(píng)果的2倍。這三種水果一共銷(xiāo)售了210千克。銷(xiāo)售香蕉多少千克？從以上幾個(gè)題目的步數(shù)來(lái)說(shuō)，可能已經(jīng)超越了教材基本的難度標(biāo)準(zhǔn)。但筆者近年來(lái)一直有一個(gè)理念：“高標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)，標(biāo)準(zhǔn)化考試”教師們可以在課堂上大膽探索，這樣的問(wèn)題經(jīng)過(guò)引導(dǎo)和啟發(fā)，學(xué)生到底能否解決？學(xué)生是否能在數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維能力上得到更好的發(fā)展？是否貫徹了課程標(biāo)準(zhǔn)提倡的不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展的理念？（5）化一般問(wèn)題為特殊問(wèn)題。數(shù)學(xué)中的規(guī)律一般具有普遍性，但是對(duì)于小學(xué)生而言，普遍的規(guī)律往往比較抽象，較難理解和應(yīng)用。如果舉一些特殊的例子運(yùn)用不完全歸納法加以猜測(cè)驗(yàn)證，也是可行的解決問(wèn)題的策略。下面舉例說(shuō)明。案例：任意一個(gè)大于4的自然數(shù)，拆成兩個(gè)自然數(shù)之和，怎樣拆分才能使這兩個(gè)自然數(shù)的乘積最大？分析：此問(wèn)題如果運(yùn)用一般的方法進(jìn)行推理，可以設(shè)這個(gè)大于4的自然數(shù)為N。如果N為偶數(shù)，可設(shè)N＝2K（K為任意大于2的自然數(shù)）；那么N＝K＋K＝（K－1）＋（K＋1）＝（K－2）＋（K＋2）＝…，因?yàn)镵2>K2－1>K2－4>…，所以K×K>（K－1）×（K＋1）>（K－2）×（K＋2）>…，所以把這個(gè)偶數(shù)拆分成兩個(gè)相等的數(shù)的和，它們的積最大。如果N為奇數(shù)，可設(shè)N＝2K＋1（K為任意大于1的自然數(shù)）；那么N＝K＋（K＋1）＝（K－1）＋（K＋2）＝（K－2）＋（K＋3）＝…，因?yàn)镵2＋K>K2＋K－2>K2＋K－6>…，所以K×（K＋1）>（K－1）×（K＋2）>（K－2）×（K＋3）>…，所以把這個(gè)奇數(shù)拆分成兩個(gè)相差1的數(shù)的和，它們的積最大。仔細(xì)觀察問(wèn)題可以發(fā)現(xiàn)，題中的自然數(shù)只要大于4, 便存在一種普遍的規(guī)律；因此，取幾個(gè)具體的特殊的數(shù)，也應(yīng)該存在這樣的規(guī)律。這時(shí)就可以把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題，僅舉幾個(gè)有代表性的比較小的數(shù)（只要大于4）進(jìn)行枚舉歸納，如10,11等，就可以解決問(wèn)題，具體案例見(jiàn)前文。化歸思想作為最重要的數(shù)學(xué)思想之一，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中無(wú)所不在，對(duì)于學(xué)生而言，要學(xué)會(huì)善于運(yùn)用化歸的思想方法解決各種復(fù)雜的問(wèn)題，最終達(dá)到在數(shù)學(xué)的世界里舉重若輕的境界。三、模型思想1. 模型思想的概念。數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式和圖表，因而它與符號(hào)化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。不過(guò)，也有很多數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解似乎更注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用性,即把數(shù)學(xué)模型描述為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。如通過(guò)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、物理、農(nóng)業(yè)、生物、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，所構(gòu)造的各種數(shù)學(xué)模型。為了把數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)知識(shí)或是符號(hào)思想明顯地區(qū)分開(kāi)來(lái)，本文主要從俠義的角度討論數(shù)學(xué)模型，即重點(diǎn)分析小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。2. 模型思想的重要意義。數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和工具，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一些信息進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，經(jīng)過(guò)推理和運(yùn)算，對(duì)相應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)、決策和控制，并且要經(jīng)過(guò)實(shí)踐的檢驗(yàn)。如果檢驗(yàn)的結(jié)果是正確的，便可以指導(dǎo)我們的實(shí)踐。如上所述，數(shù)學(xué)模型在當(dāng)今市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)和信息化社會(huì)已經(jīng)有比較廣泛的應(yīng)用；因而，模型思想在數(shù)學(xué)思想方法中有非常重要的地位，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也應(yīng)該有它的一席之地。如果說(shuō)符號(hào)化思想更注重?cái)?shù)學(xué)抽象和符號(hào)表達(dá)，那么模型思想更注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問(wèn)題，尤其是現(xiàn)實(shí)中的各種問(wèn)題；當(dāng)然，把現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過(guò)程也是一個(gè)抽象的過(guò)程?，F(xiàn)行的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)符號(hào)化思想有明確的要求，如要求學(xué)生“能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)來(lái)表示”這實(shí)際上就包含了模型思想。但是，課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)第一、二學(xué)段并沒(méi)有明確提出模型思想的要求，只是在第三學(xué)段的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)建議中明確提出了模型思想，要求在教學(xué)中“注重使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型”，教學(xué)過(guò)程以“問(wèn)題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開(kāi)。如果說(shuō)小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者中有人關(guān)注了模型思想，多數(shù)人基本上只是套用第三學(xué)段對(duì)模型思想的要求進(jìn)行研究，也很難做到要求的具體化和課堂教學(xué)的貫徹落實(shí)。據(jù)了解，即將頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿與現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)相比有了較大變化，在課程內(nèi)容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)”。并在教材編寫(xiě)建議中提出了“教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的活動(dòng)。這樣的活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)'問(wèn)題情境─建立模型─求解驗(yàn)證’的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識(shí)技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)”。這是否可以理解為：在小學(xué)階段，從課程標(biāo)準(zhǔn)的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重要意義。這不僅表明了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)明確了建立模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問(wèn)題的核心。3. 模型思想的具體應(yīng)用。數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過(guò)程，也是一個(gè)應(yīng)用的過(guò)程。從這個(gè)角度而言，伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展，數(shù)學(xué)模型實(shí)際上也隨后產(chǎn)生和發(fā)展了。如自然數(shù)系統(tǒng)1，2，3，…是描述離散數(shù)量的數(shù)學(xué)模型。2000多年前的古人用公式計(jì)算土地面積，用方程解決實(shí)際問(wèn)題等，實(shí)際上都是用各種數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題的。就小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用來(lái)說(shuō)，大多數(shù)是古老的初等數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，也許在數(shù)學(xué)家的眼里，這根本就不是真正的數(shù)學(xué)模型；不過(guò)，小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用雖然簡(jiǎn)單，但仍然是現(xiàn)實(shí)生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所不可或缺的。小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型如下表。小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型如下表。知識(shí)領(lǐng)域知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示自然數(shù)列：0,1,2,…用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運(yùn)算a+b=cc－a =b, c－b＝aa×b＝c(a≠0,b≠0)c÷a=b, c÷b＝a運(yùn)算定律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac方程ax+b=c數(shù)量關(guān)系時(shí)間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價(jià)和總價(jià)：a=np正比例關(guān)系：y/x=k反比例關(guān)系：xy=k用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖象表示數(shù)量間的關(guān)系空間與圖形用字母表示公式三角形面積：S＝ab平行四邊形面積：S＝ah梯形面積：S＝(a+b)h圓周長(zhǎng)：C＝2πr圓面積：S＝πr2長(zhǎng)方體體積：v=abc正方體體積：v=a3圓柱體積：v=sh圓錐體積：v=sh空間形式用圖表表示空間和平面結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表用統(tǒng)計(jì)圖表描述和分析各種信息可能性用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小4．模型思想的教學(xué)。從表格中可以看出：模型思想與符號(hào)化思想都是經(jīng)過(guò)抽象后用符號(hào)和圖表表達(dá)數(shù)量關(guān)系和空間形式，這是它們的共同之處；但是模型思想更加重視如何經(jīng)過(guò)分析抽象建立模型，更加重視如何應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活和科學(xué)研究中的各種問(wèn)題。正是因?yàn)閿?shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，不但促進(jìn)了科學(xué)和人類(lèi)的進(jìn)步，也使得人們對(duì)數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)家的樂(lè)園，它也不應(yīng)是抽象和枯燥的代名詞，它是全人類(lèi)的朋友，也是廣大中小學(xué)生的朋友。廣大教師在教學(xué)中結(jié)合數(shù)學(xué)的應(yīng)用和解決問(wèn)題的教學(xué)，要注意貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)的理念：一方面要注重滲透模型思想，另一方面要教會(huì)學(xué)生如何建立模型，并喜歡數(shù)學(xué)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型大概有兩種情況：第一種是基本模型的學(xué)習(xí)，即學(xué)習(xí)教材中以例題為代表的新知識(shí)，這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程可能是一個(gè)探索的過(guò)程，也可能是一個(gè)接受學(xué)習(xí)的理解過(guò)程；第二種是利用基本模型去解決各種問(wèn)題，即利用學(xué)習(xí)的基本知識(shí)解決教材中豐富多彩的習(xí)題以及各種課外問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模是一個(gè)比較復(fù)雜和富有挑戰(zhàn)性的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程大致有以下幾個(gè)步驟：(1) 理解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確要解決什么問(wèn)題，屬于什么模型系統(tǒng)。(2) 把復(fù)雜的情境經(jīng)過(guò)分析和簡(jiǎn)化，確定必要的數(shù)據(jù)。(3) 建立模型，可以是數(shù)量關(guān)系式，也可以是圖表形式。(4) 解答問(wèn)題。下面結(jié)合案例做簡(jiǎn)要解析。第一，學(xué)習(xí)的過(guò)程可以經(jīng)歷類(lèi)似于數(shù)學(xué)家建模的再創(chuàng)造過(guò)程?，F(xiàn)實(shí)生活中已有的數(shù)學(xué)模型基本上是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家等科學(xué)家們把數(shù)學(xué)應(yīng)用于各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域經(jīng)過(guò)艱辛的研究創(chuàng)造出來(lái)的，使得我們能夠享受現(xiàn)有的成果。如阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿定律：平衡的杠桿，物體到杠桿支點(diǎn)的距離之比，等于兩個(gè)物體重量的反比，即Ｆ1：Ｆ2＝Ｌ2：L1。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程有時(shí)是一個(gè)探索的過(guò)程，也是一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程；也就是說(shuō)有些模型是可以由學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造的，可以把科學(xué)家發(fā)明的成果再創(chuàng)造一次。如在學(xué)習(xí)了反比例關(guān)系以后，可以利用簡(jiǎn)單的學(xué)具進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)，探索杠桿定律。再如利用若干個(gè)相同的小正方體拼擺成一個(gè)長(zhǎng)方體，探索長(zhǎng)方體中含有小正方體的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系，進(jìn)而歸納出長(zhǎng)方體的體積公式，建立模型V＝abc，這是一個(gè)模型化的過(guò)程，也是一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程。第二，對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，在現(xiàn)實(shí)生活和工作中利用數(shù)學(xué)解決各種問(wèn)題，基本上都是根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的分析，利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建模型。這樣的模型是已經(jīng)存在并且是科學(xué)的，并不是新發(fā)明的，由學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造也幾乎是不可行的；換句話(huà)說(shuō)，有些模型由于難度較大或不便于探索，不必讓學(xué)生再創(chuàng)造。如兩個(gè)變量成反比例關(guān)系，如果給出兩個(gè)量數(shù)據(jù)變化的表格，學(xué)生通過(guò)觀察和計(jì)算有可能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)量的關(guān)系。但是如果讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐操作去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還是有一定難度的。再如物體運(yùn)動(dòng)的路程、時(shí)間和速度的關(guān)系為s=vt，利用這個(gè)基本模型可以解決各種有關(guān)勻速運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。但是由于這個(gè)模型比較抽象，操作難度較大，因而也不適合學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造。教師只需要通過(guò)現(xiàn)實(shí)模擬或者動(dòng)畫(huà)模擬，使學(xué)生能夠理解模型的意義便可。第三，應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)分析數(shù)量關(guān)系和空間形式，經(jīng)過(guò)抽象建立模型，進(jìn)而解決各種問(wèn)題。學(xué)生學(xué)習(xí)了教材上的基礎(chǔ)知識(shí)以后，利用已有知識(shí)解決新的更加復(fù)雜的各種問(wèn)題，是一個(gè)富有挑戰(zhàn)的過(guò)程，也可以是一個(gè)合作探究的過(guò)程。如小學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有很多應(yīng)用數(shù)學(xué)解決的問(wèn)題，就是一個(gè)建立模型的過(guò)程；再如中學(xué)生和大學(xué)生組隊(duì)參加數(shù)學(xué)建模大賽，就是一個(gè)團(tuán)隊(duì)合作探究的過(guò)程。案例1：小明的家距離學(xué)校600米，每天上學(xué)從家步行10分鐘到學(xué)校。今天早晨出門(mén)2分鐘后發(fā)現(xiàn)忘記帶學(xué)具了，立即回家去取。他如果想按原來(lái)的時(shí)間趕到學(xué)校，他從回家再到學(xué)校，步行的速度應(yīng)是多少？（取東西的時(shí)間忽略不計(jì)）解答過(guò)程如下：(1) 本題是日常生活中常見(jiàn)的行程問(wèn)題，問(wèn)題是要求小明步行的速度，是關(guān)于時(shí)間、速度和路程的問(wèn)題。(2) 這里需要明確所求的速度相對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間是什么，因?yàn)槿|西等時(shí)間忽略不計(jì)，因此剩余的時(shí)間就可以確定為步行的時(shí)間；路程是從家出來(lái)2分鐘后開(kāi)始算，再回家的路程加上從家到學(xué)校的路程的和；時(shí)間是10分鐘減去2分鐘，只有8分鐘的時(shí)間了。(3) 根據(jù)基本的關(guān)系式s=vt，可先求出s＝600+（600÷10）×2＝720(米),t＝10－2＝8(分鐘)。列式為：720＝8v。(4)v＝90，即小明步行的速度為90米／分鐘。從上面的解答過(guò)程來(lái)看，小學(xué)數(shù)學(xué)的情境還是比較容易理解的，模型系統(tǒng)也容易確定。如果說(shuō)此題比教材中的一般習(xí)題有難度的話(huà)，就是路程和時(shí)間沒(méi)有直接給出,拐了個(gè)彎。也就是說(shuō)難點(diǎn)在于第二步中知道模型系統(tǒng)后相應(yīng)的數(shù)量怎么準(zhǔn)確地找出來(lái)，一定要注意題中對(duì)每一個(gè)量是怎樣敘述的，有什么特殊的要求，在認(rèn)真讀題的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確地找出來(lái)或計(jì)算出來(lái)。案例2 ：有一根20米長(zhǎng)的繩子，要剪成2米和5米長(zhǎng)兩種規(guī)格的跳繩，每種跳繩各剪多少根？（要求繩子無(wú)剩余，并且每種規(guī)格的跳繩至少要有一根。）分析：此題從表面上看，是小學(xué)數(shù)學(xué)整數(shù)乘除法的一般問(wèn)題，但是由于題目中有特殊要求，無(wú)法直接列式解答。如果用方程，題目中涉及了兩個(gè)未知數(shù)，屬于二元一次方程，超出了小學(xué)數(shù)學(xué)的范圍。那么，面對(duì)這樣的問(wèn)題如何解決呢？在小學(xué)數(shù)學(xué)中面對(duì)一些非常規(guī)的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)運(yùn)用列表枚舉或者猜測(cè)的方式是一種可行的策略，只不過(guò)會(huì)繁瑣一些。5米跳繩的根數(shù)12342米跳繩的根數(shù)7520剩余米數(shù)1010由上表可知符合要求的答案為：5米和2米的跳繩分別剪2根和5根。此題如果用方程解決，可設(shè)5米和2米的跳繩分別剪x根和y根，可列方程：5x＋2y＝20?？煞抡照壤P(guān)系y＝kx圖像的畫(huà)法，在有方格紙的坐標(biāo)系里，通過(guò)兩點(diǎn)(0，10)和(4，0)畫(huà)出一條直線，就是方程5x＋2y＝20的圖像。再找出圖像與方格的交叉點(diǎn)重合的點(diǎn)，就是方程的解。案例3：一瓶礦泉水滿(mǎn)瓶水為500毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圓柱形的部分，高度是16厘米。如果把瓶蓋擰緊，倒立過(guò)來(lái)，無(wú)水的部分高度是4厘米。小林喝了多少水？分析：此題是求水的容積，有一個(gè)在建模過(guò)程中需要的假設(shè)，就是礦泉水瓶圓柱部分并不是一個(gè)嚴(yán)格的圓柱形狀，要假設(shè)它是圓柱形狀，這樣才便于建立模型。由于不知道圓柱的底面積，所以無(wú)法用容積公式直接求解。這就需要換一個(gè)思路來(lái)想，根據(jù)容積公式v＝sh，可知如果底面積一定，容積與圓柱的高成正比。這樣就把求容積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比例的問(wèn)題。由于礦泉水瓶最上面部分形狀不規(guī)則，倒立過(guò)來(lái)以后喝的水就相當(dāng)于圓柱形瓶子高度為4厘米的水。滿(mǎn)瓶礦泉水就相當(dāng)于這瓶水都裝在圓柱形瓶子后，高度為20厘米的水。可設(shè)小林喝的水為v毫升，列式為：v：500＝4：(16+4)，v＝100。四、推理思想1. 推理思想的概念。推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的判斷得出另一個(gè)新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類(lèi)比等推測(cè)某些結(jié)果。合情推理的常用形式有：歸納推理和類(lèi)比推理。當(dāng)前提為真時(shí)，合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。(1) 演繹推理。三段論，有兩個(gè)前提和一個(gè)結(jié)論的演繹推理，叫做三段論。三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情況，結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷。例如：一切奇數(shù)都不能被２整除，(２3＋１)是奇數(shù)，所以(２3＋１)不能被２整除。選言推理，分為相容選言推理和不相容選言推理。這里只介紹不相容選言推理：大前提是個(gè)不相容的選言判斷，小前提肯定其中的一個(gè)選言支，結(jié)論則否定其它選言支；小前提否定除其中一個(gè)以外的選言支，結(jié)論則肯定剩下的那個(gè)選言支。例如：一個(gè)三角形，要么是銳角三角形，要么是直角三角形，要么是鈍角三角形。這個(gè)三角形不是銳角三角形和直角三角形，所以，它是個(gè)鈍角三角形。假言推理， 假言推理的分類(lèi)較為復(fù)雜，這里簡(jiǎn)單介紹一種充分條件假言推理：前提有一個(gè)充分條件假言判斷，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一個(gè)數(shù)的末位是０，那么這個(gè)數(shù)能被５整除；這個(gè)數(shù)的末位是０，所以這個(gè)數(shù)能被５整除。這里的大前提是一個(gè)假言判斷，所以這種推理盡管與三段論有相似的地方，但它不是三段論。關(guān)系推理，是前提中至少有一個(gè)是關(guān)系命題的推理。下面簡(jiǎn)單舉例說(shuō)明幾種常用的關(guān)系推理：(1)對(duì)稱(chēng)性關(guān)系推理，如１米＝１００厘米，所以１００厘米＝１米；(2)反對(duì)稱(chēng)性關(guān)系推理，a大于b，所以b不大于a ；(3)傳遞性關(guān)系推理，a>b，b>c，所以a>c。關(guān)系推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用比較普遍，如在一年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)的大小比較時(shí)，把一些數(shù)按從小到大或從大到小的順序排列，實(shí)際上都用到了關(guān)系推理。(2) 合情推理。歸納推理，是從特殊到一般的推理方法，即依據(jù)一類(lèi)事物中部分對(duì)象的相同性質(zhì)推出該類(lèi)事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是根據(jù)某類(lèi)事物中的每個(gè)事物或每個(gè)子類(lèi)事物都具有某種性質(zhì)，而推出該類(lèi)事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。完全歸納法考察了所有特殊對(duì)象，所得出的結(jié)論是可靠的。不完全歸納法是通過(guò)觀察某類(lèi)事物中部分對(duì)象發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)，推出該類(lèi)事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。依據(jù)該方法得到的結(jié)論可能為真也可能為假，需要進(jìn)一步證明結(jié)論的可靠性。數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的數(shù)學(xué)推理方法，從表面上看并沒(méi)有考察所有對(duì)象，但是根據(jù)自然數(shù)的性質(zhì)，相當(dāng)于考察了所有對(duì)象，因而數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上屬于完全歸納推理。類(lèi)比推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據(jù)兩類(lèi)事物的相似性，用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物也具有該性質(zhì)的推理方法。依據(jù)該方法得到的結(jié)論可能為真也可能為假，需要進(jìn)一步證明結(jié)論的可靠性。2. 推理思想的重要意義。我國(guó)數(shù)學(xué)教育幾十年來(lái)的主要優(yōu)勢(shì)或者說(shuō)成果就是重視培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力和空間想象能力。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)大綱比較強(qiáng)調(diào)邏輯推理而忽視了合情推理；而現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)又矯枉過(guò)正，過(guò)于強(qiáng)調(diào)合情推理，在邏輯推理能力方面有所淡化。近年來(lái)課程改革的實(shí)踐證明，二者不可偏廢。就學(xué)好數(shù)學(xué)或者培養(yǎng)人的智力而言，邏輯推理和合情推理都是不可或缺的。據(jù)了解，課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿在這方面有比較合理的處理，明確了推理的范圍及作用“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。……在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理有助于探索解決問(wèn)題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性”。數(shù)學(xué)在當(dāng)今市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)和信息化社會(huì)有比較廣泛的應(yīng)用，人們?cè)诶脭?shù)學(xué)解決各種實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，雖然大量的計(jì)算和推理可以通過(guò)計(jì)算機(jī)來(lái)完成。但是就人的思維能力構(gòu)成而言，推理能力仍然是至關(guān)重要的能力之一，因而培養(yǎng)推理能力仍然是數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)之一。3. 推理思想的具體應(yīng)用。推理思想作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的思想方法，無(wú)論在小學(xué)還是在中學(xué)都有著廣泛的應(yīng)用，尤其是合情推理作為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)的探究學(xué)習(xí)和再創(chuàng)造學(xué)習(xí)中應(yīng)用更為廣泛。在小學(xué)數(shù)學(xué)中雖然沒(méi)有初中類(lèi)似于數(shù)學(xué)證明等嚴(yán)密規(guī)范的演繹推理，但是在很多結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程中間接地應(yīng)用了演繹推理。如推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式之后，三角形的面積公式的推導(dǎo)過(guò)程是先把兩個(gè)同樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的面積公式推出三角形的面積公式。這個(gè)過(guò)程實(shí)際上應(yīng)用了演繹推理，如下：平行四邊形的面積等于底乘高，兩個(gè)同樣的三角形的面積等于平行四邊形的面積，所以?xún)蓚€(gè)同樣的三角形的面積等于底乘高；因而一個(gè)三角形的面積就等于底乘高的積除以2。小學(xué)數(shù)學(xué)中推理思想的應(yīng)用如下表。思想方法知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例不完全歸納法找規(guī)律找數(shù)列和圖形的規(guī)律整數(shù)計(jì)算四則計(jì)算法則的總結(jié)運(yùn)算定律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac除法商不變的規(guī)律分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)面積長(zhǎng)方形面積公式的推導(dǎo)體積長(zhǎng)方體體積公式的推導(dǎo)圓柱體積公式的推導(dǎo)圓錐體積公式的推導(dǎo)完全歸納法三角形三角形內(nèi)角和的推導(dǎo)類(lèi)比推理整數(shù)讀寫(xiě)法億以?xún)?nèi)及億以上的數(shù)的讀寫(xiě)，與萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的讀寫(xiě)相類(lèi)比整數(shù)的運(yùn)算四則計(jì)算的法則：多位數(shù)加減法與兩位數(shù)加減法相類(lèi)比，多位數(shù)乘多位數(shù)與多位數(shù)乘一位數(shù)相類(lèi)比，除數(shù)是多位數(shù)的除法與除數(shù)是一位數(shù)的除法相類(lèi)比小數(shù)的運(yùn)算整數(shù)的運(yùn)算法則、順序和定律推廣到小數(shù)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算整數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)除法、分?jǐn)?shù)和比除法商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)進(jìn)行類(lèi)比面積與平行四邊形面積公式的推導(dǎo)方法相類(lèi)比，三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)，也用轉(zhuǎn)化的方法，把它們轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)面積公式。長(zhǎng)度、面積、體積線、面、體之間的類(lèi)比：線段有長(zhǎng)短，用長(zhǎng)度單位來(lái)計(jì)量；平面圖形有大小，用面積單位來(lái)計(jì)量；立體圖形占的空間有大小，用體積單位來(lái)計(jì)量問(wèn)題解決數(shù)量關(guān)系相近的實(shí)際問(wèn)題的類(lèi)比，如分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題與百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題的類(lèi)比雞兔同籠不同素材的雞兔同籠問(wèn)題的類(lèi)比抽屜原理不同素材的抽屜原理問(wèn)題的類(lèi)比三段論多邊形多邊形內(nèi)角和的推導(dǎo)面積正方形面積公式的推導(dǎo)平行四邊形面積公式的推導(dǎo)三角形面積公式的推導(dǎo)梯形面積公式的推導(dǎo)圓面積公式的推導(dǎo)體積正方體體積公式的推導(dǎo)選言推理類(lèi)似于人教版二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角中的“猜一猜”假言推理根據(jù)概念、性質(zhì)等進(jìn)行判斷的一些問(wèn)題關(guān)系推理大小比較、恒等變形、等量代換等等4．推理思想的教學(xué)。就演繹推理和合情推理的關(guān)系及教學(xué)建議，課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿指出“推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過(guò)程。義務(wù)教育階段要注重學(xué)生思考的條理性，不要過(guò)分強(qiáng)調(diào)推理的形式。……教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、嘗試、估算、歸納、類(lèi)比、畫(huà)圖等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測(cè)某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力；通過(guò)實(shí)例使學(xué)生逐步意識(shí)到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，可以根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求”。根據(jù)以上課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于推理思想的理念和要求，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意把握以下幾點(diǎn)。第一，推理是重要的思想方法之一，是數(shù)學(xué)的基本思維方式，要貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，除了運(yùn)算是數(shù)學(xué)的基本方法外，推理也是常用的數(shù)學(xué)方法。無(wú)論是低年級(jí)的找規(guī)律、總結(jié)計(jì)算法則，還是高年級(jí)的面積、體積公式的推導(dǎo)，無(wú)不用到推理的思想方法。因而，廣大教師要牢記推理思想從一年級(jí)就要開(kāi)始滲透和應(yīng)用，是一個(gè)長(zhǎng)期的培養(yǎng)過(guò)程。第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。合情推理多用于根據(jù)特殊的事實(shí)去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)一般性的結(jié)論，演繹推理往往用于根據(jù)已有的一般性的結(jié)論去證明和推導(dǎo)新的結(jié)論。二者在數(shù)學(xué)中的作用都是很重要的。第三，推理能力的培養(yǎng)與四大內(nèi)容領(lǐng)域的教學(xué)要有機(jī)地結(jié)合。推理能力的發(fā)展與各領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)有機(jī)的結(jié)合過(guò)程，因而在教學(xué)過(guò)程中要給學(xué)生提供各個(gè)領(lǐng)域的豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)推理能力。第四，把握好推理思想教學(xué)的層次性和差異性。推理能力的培養(yǎng)要結(jié)合具體知識(shí)的學(xué)習(xí)，同時(shí)要考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力。綜合現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)及其修改稿關(guān)于 “數(shù)學(xué)思考”分階段的目標(biāo)要求，推理能力在小學(xué)階段的要求可參考下表。學(xué)　段推理能力教學(xué)目標(biāo)第一學(xué)段初步學(xué)會(huì)選擇有用信息進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納和類(lèi)比第二學(xué)段在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過(guò)程與結(jié)果下面再結(jié)合案例談?wù)剮追N在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用較多的推理思想的教學(xué)。（1）類(lèi)比思想。無(wú)論是學(xué)習(xí)新知識(shí)，還是利用已有知識(shí)解決新問(wèn)題，如果能夠把新知識(shí)和新問(wèn)題與已有的相類(lèi)似的知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的方法，這樣就實(shí)現(xiàn)了知識(shí)和方法的正遷移。因此，要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中善于利用類(lèi)比思想，提高解決問(wèn)題的能力。有些類(lèi)比比較直接，如由整數(shù)的運(yùn)算定律遷移到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算定律，問(wèn)題解決中數(shù)量關(guān)系相近的問(wèn)題的類(lèi)比等。而有些類(lèi)比比較隱蔽，需要在分析的基礎(chǔ)上才能實(shí)現(xiàn)。如抽屜原理，變式練習(xí)有很多，難度較大，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是通過(guò)類(lèi)比找到抽屜。應(yīng)用類(lèi)比的思想方法，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)兩類(lèi)事物相似的性質(zhì)，因此，觀察與聯(lián)想是類(lèi)比的基礎(chǔ)。另外，中學(xué)數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)可以類(lèi)比的知識(shí)有很多，如果打好小學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)和掌握類(lèi)比思想，對(duì)于初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)會(huì)有較大益處。如在代數(shù)中，與整數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算定律相類(lèi)比，可以導(dǎo)出有理數(shù)和整式的運(yùn)算順序和運(yùn)算定律；與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)相類(lèi)比，可以導(dǎo)出分式也具有類(lèi)似的性質(zhì)，并且可以推出它和分?jǐn)?shù)一樣能夠進(jìn)行化簡(jiǎn)和運(yùn)算。案例：計(jì)算并觀察下面的算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？１＝１2１＋３＝４＝２2１＋３＋５＝９＝３2１＋３＋５＋７＝……１＋３＋５＋７＋…＋99＝分析：此題是由從1開(kāi)始的奇數(shù)組成的系列加法算式，每一組算式比前一組多一個(gè)后繼的奇數(shù)。通過(guò)計(jì)算并觀察每組算式的得數(shù)，１是一個(gè)奇數(shù)，等于１的平方；（１＋３）是前２個(gè)奇數(shù)相加，等于２的平方；（１＋３＋５）是前３個(gè)奇數(shù)相加，等于３的平方；（１＋３＋５＋７）是前４個(gè)奇數(shù)相加，通過(guò)與前面算式進(jìn)行類(lèi)比，猜想應(yīng)該等于４的平方；（１＋３＋５＋７）＝１６，４2＝１６，猜想正確。那么最后的算式是前５０個(gè)奇數(shù)相加，等于５０的平方。因此，可以歸納出一般的規(guī)律：前n個(gè)奇數(shù)相加的和等于n的平方。（2）歸納思想。不完全歸納法在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中應(yīng)用比較廣泛。小學(xué)數(shù)學(xué)中很多運(yùn)算法則、公式、定律等的推導(dǎo)，都是在例舉幾個(gè)特殊例子的基礎(chǔ)上得出的。如根據(jù)40+56=56+40，28+37=37+28，120+80=80+120等幾個(gè)有限的例子，得出加法交換律。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生探索圖形和數(shù)的排列規(guī)律，探索規(guī)律的過(guò)程就是一個(gè)應(yīng)用不完全歸納法的過(guò)程。案例：觀察下面的一組算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 46+64=110, 38+83=121分析：通過(guò)觀察算式，能夠發(fā)現(xiàn)這樣一些規(guī)律：所有的算式都是兩位數(shù)加兩位數(shù)，每個(gè)算式的兩個(gè)加數(shù)中的一個(gè)加數(shù)的個(gè)位和十位數(shù)互換，變成另一個(gè)加數(shù)。再進(jìn)一步觀察，所有算式的得數(shù)有兩位數(shù)也有三位數(shù)，它們有什么共同的規(guī)律呢？把它們分別分解質(zhì)因數(shù)發(fā)現(xiàn)，每個(gè)數(shù)都是11的倍數(shù)。這樣就可以大膽猜想并歸納結(jié)論：兩個(gè)互換個(gè)位數(shù)和十位數(shù)的兩位數(shù)相加，結(jié)果是11的倍數(shù)。再舉例驗(yàn)證：57+75=132＝11×12，69+96=165=11×15，初步驗(yàn)證猜想是正確的。那么如何進(jìn)行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明呢？可設(shè)任意一個(gè)兩位數(shù)是ab(a和b是1～9的自然數(shù))，那么ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)，從而證明了結(jié)論的正確。(3)三段論。在人們的傳統(tǒng)觀念中，小學(xué)幾何是實(shí)驗(yàn)幾何，很難在演繹推理證明方面有所滲透。同時(shí)，在初中階段，培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力是重要的教學(xué)目標(biāo)之一；然而對(duì)于部分初中學(xué)生而言，這部分知識(shí)又是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。那么，在小學(xué)高年級(jí)，能否進(jìn)行演繹推理思想的滲透，從而使剛升入初中的學(xué)生有演繹推理的初步經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？下面的案例也許能說(shuō)明問(wèn)題。案例：如下圖，兩條直線相交形成4個(gè)角，你能說(shuō)明∠2=∠4嗎？分析：此題在初中要根據(jù)“同角的補(bǔ)角相等”來(lái)證明對(duì)頂角相等。那么，在小學(xué)階段，如何根據(jù)已有知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明呢？我們已經(jīng)知道平角等于180度，再根據(jù)等量代換等知識(shí)就可以證明。下面給出最簡(jiǎn)單的證明：因?yàn)椤?和∠2、∠1和∠4分別組成平角，所以∠1+∠2=180°、∠1+∠4=180°，根據(jù)加減法各部分間的關(guān)系，可得∠2=180°-∠1、∠4=180°-∠1，根據(jù)等量代換，可得∠2=∠4。再看右上圖，在初中要證明三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，在小學(xué)階段同樣可以類(lèi)似地得到證明。五、方程和函數(shù)思想1．方程和函數(shù)思想的概念。方程和函數(shù)是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容，也是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具，它們都可以用來(lái)描述現(xiàn)實(shí)世界的各種數(shù)量關(guān)系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系，因此，本文將二者放在一起進(jìn)行討論。(1)方程思想。含有未知數(shù)的等式叫方程。判斷一個(gè)式子是不是方程，只需要同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一個(gè)是含有未知數(shù)，另一個(gè)是必須是等式。如有些小學(xué)老師經(jīng)常有疑問(wèn)的判斷題：χ=0 和χ=1是不是方程？根據(jù)方程的定義，他們滿(mǎn)足方程的條件，都是方程。方程按照未知數(shù)的個(gè)數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，這些都是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域中最基本的內(nèi)容。方程思想的核心是將問(wèn)題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學(xué)符號(hào)（常用χ、y等字母）表示，根據(jù)相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對(duì)立統(tǒng)一。(2)函數(shù)思想。設(shè)集合Ａ、Ｂ是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系?，如果對(duì)于集合Ａ中的任意一個(gè)數(shù)χ，在集合Ｂ中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)y是χ的函數(shù)，記作y＝f(χ)。其中χ叫做自變量，χ的取值范圍Ａ叫做函數(shù)的定義域；y叫做函數(shù)或因變量，與χ相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，y的取值范圍Ｂ叫做值域。以上函數(shù)的定義是從初等數(shù)學(xué)的角度出發(fā)的，自變量只有一個(gè)，與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也是唯一的。這樣的函數(shù)研究的是兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也相應(yīng)發(fā)生變化，中學(xué)里學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)都是這類(lèi)函數(shù)。實(shí)際上現(xiàn)實(shí)生活中還有很多情況是一個(gè)變量會(huì)隨著幾個(gè)變量的變化而相應(yīng)地變化，這樣的函數(shù)是多元函數(shù)。雖然在中小學(xué)里不學(xué)習(xí)多元函數(shù)，但實(shí)際上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關(guān)系：Ｖ＝πr2h。半徑和高有一對(duì)取值，體積就會(huì)相應(yīng)地有一個(gè)取值；也就是說(shuō)，體積隨著半徑和高的變化而變化。函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關(guān)系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過(guò)對(duì)這種變化的探究找出變量之間的對(duì)應(yīng)法則，從而構(gòu)建函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的、普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)。2. 方程和函數(shù)的關(guān)系。(1)方程和函數(shù)的區(qū)別。從小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域經(jīng)歷了從算術(shù)到方程再到函數(shù)的過(guò)程。算術(shù)研究具體的確定的常數(shù)以及它們之間的數(shù)量關(guān)系。方程研究確定的常數(shù)和未知的常數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關(guān)系。方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關(guān)系的，但是它們有本質(zhì)的區(qū)別。如二元一次不定方程中的未知數(shù)往往是常量，而一次函數(shù)中的自變量和因變量一定是變量，因此二者有本質(zhì)的不同。方程必須有未知數(shù)，未知數(shù)往往是常量，而且一定用等式的形式呈現(xiàn)，二者缺一不可，如2χ－4＝6。而函數(shù)至少要有兩個(gè)變量，兩個(gè)變量依據(jù)一定的法則相對(duì)應(yīng)，呈現(xiàn)的形式可以有解析式、圖象法和列表法等，如集合Ａ為大于等于1 、小于等于10的整數(shù)，集合Ｂ為小于等于20的正偶數(shù)。那么兩個(gè)集合的數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用y＝2χ表示，也可以用圖象表示，還可以用如下的表格表示。χ12345678910y2468101214161820人們運(yùn)用方程思想，一般關(guān)注的是通過(guò)設(shè)未知數(shù)如何找出數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程并求出方程的解，從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題。人們運(yùn)用函數(shù)思想，一般更加關(guān)注變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)構(gòu)建函數(shù)模型并研究函數(shù)的一些性質(zhì)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題。方程中的未知數(shù)往往是靜態(tài)的，而函數(shù)中的變量則是動(dòng)態(tài)的。方程已經(jīng)有3000多年的歷史，而函數(shù)概念的產(chǎn)生不過(guò)才300年。(2)方程和函數(shù)的聯(lián)系。方程和函數(shù)雖然有本質(zhì)的區(qū)別，但是它們同屬代數(shù)領(lǐng)域，也有密切的聯(lián)系。如二元一次不定方程aχ＋by＋c＝0和一次函數(shù)y＝kχ＋b，如果方程的解在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，函數(shù)的定義域和值域都是實(shí)數(shù)。那么方程aχ＋by＋c＝0經(jīng)過(guò)變換可轉(zhuǎn)化為,它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系里畫(huà)出來(lái)的圖象都是一條直線。因此，可以說(shuō)一個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)。如果使一次函數(shù)y＝kχ＋b中的函數(shù)值等于0，那么一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為kχ＋b＝0，這就是一元一次方程。因此，可以說(shuō)求這個(gè)一元一次方程的解，實(shí)際上就是求使函數(shù)值為0的自變量的值，或者說(shuō)求一次函數(shù)圖象與χ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。一般地，就初等數(shù)學(xué)而言，如果令函數(shù)值為0，那么這個(gè)函數(shù)就可轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知數(shù)的方程；求方程的解，就是求使函數(shù)值為0的自變量的值，或者說(shuō)求函數(shù)圖象與χ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。3. 方程和函數(shù)思想的重要意義。16世紀(jì)以前，人們主要是應(yīng)用算術(shù)和方程方法解決現(xiàn)實(shí)生活中的各種實(shí)際問(wèn)題，方程與算術(shù)相比，由于未知數(shù)參與了等量關(guān)系式的構(gòu)建，更加便于人們理解問(wèn)題、分析數(shù)量關(guān)系并構(gòu)建模型，因而方程在解決以常量為主的實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮了重要作用。到了17世紀(jì)，隨著社會(huì)的發(fā)展，傳統(tǒng)的研究常量的算術(shù)和方程已經(jīng)不能解決以探究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系為主的經(jīng)濟(jì)、科技、軍事等領(lǐng)域的重要問(wèn)題，這時(shí)函數(shù)便產(chǎn)生了。函數(shù)為研究運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)量之間的依存、對(duì)應(yīng)關(guān)系和構(gòu)建模型帶來(lái)了方便，從而能夠解決比較復(fù)雜的問(wèn)題。概括地說(shuō)，方程和函數(shù)思想是中小學(xué)數(shù)學(xué)，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。方程和函數(shù)在研究和構(gòu)建現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系模型方面，發(fā)揮著重要的不可替代的作用。4. 方程和函數(shù)思想的具體應(yīng)用。小學(xué)數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)方程之前的問(wèn)題，都通過(guò)算術(shù)方法解決。在引入方程之后，小學(xué)數(shù)學(xué)中比較復(fù)雜的有關(guān)數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，都可以通過(guò)方程解決，方程思想是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，其中一元一次方程是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容。在小學(xué)數(shù)學(xué)里沒(méi)有學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，但是有函數(shù)思想的滲透，與正比例函數(shù)和反比例函數(shù)最接近的正比例關(guān)系和反比例關(guān)系是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容。另外，在小學(xué)數(shù)學(xué)的一些知識(shí)中也會(huì)滲透函數(shù)思想，如數(shù)與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)體現(xiàn)了函數(shù)思想。方程和函數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)銜接的紐帶。小學(xué)數(shù)學(xué)中方程和函數(shù)思想的應(yīng)用如下表。思想方法知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例方程思想方程用一元一次方程解決整數(shù)和小數(shù)等各種問(wèn)題分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和比例用一元一次方程解決分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和比例等各種問(wèn)題等量代換二(三)元一次方程組思想的滲透雞兔同籠用方程解決雞兔同籠問(wèn)題函數(shù)思想加法一個(gè)加數(shù)不變，和隨著另一個(gè)加數(shù)的變化而變化，可表示為y＝χ＋b的形式，滲透一次函數(shù)的思想積的變化規(guī)律一個(gè)因數(shù)不變，積隨著另一個(gè)因數(shù)的變化而變化，可表示為y＝kχ，滲透正比例函數(shù)思想商的變化規(guī)律除數(shù)不變，商隨著被除數(shù)的變化而變化，可表示為，滲透正比例函數(shù)思想；被除數(shù)不變，商隨著除數(shù)的變化而變化，可表示為，滲透反比例函數(shù)思想正比例關(guān)系正比例關(guān)系改寫(xiě)成y＝kχ，就是正比例函數(shù)反比例關(guān)系反比例關(guān)系改寫(xiě)成，就是反比例函數(shù)數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列、一般數(shù)列的每一項(xiàng)與序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，都可以看作是特殊的函數(shù)關(guān)系。空間與圖形長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐的體積公式，圓的周長(zhǎng)和面積公式等都滲透了函數(shù)的思想統(tǒng)計(jì)圖表函數(shù)的列表法與統(tǒng)計(jì)表有相似之處4．方程和函數(shù)思想的教學(xué)。方程和函數(shù)都是義務(wù)教育階段重要的數(shù)學(xué)思想方法，用方程和函數(shù)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，不僅能體現(xiàn)方程和函數(shù)思想的應(yīng)用價(jià)值，也有助于學(xué)生形成模型思想。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，方程和函數(shù)思想的教學(xué)應(yīng)關(guān)注以下幾點(diǎn)。(1)方程中的字母χ、y等代表具體的未知的常數(shù)，即未知數(shù)，這是代數(shù)思想和方程思想的基礎(chǔ)。(2)正比例關(guān)系和反比例關(guān)系等函數(shù)關(guān)系式中的字母χ、y等代表的是變化的量，即變量，而且這兩個(gè)量是相關(guān)聯(lián)的量，一個(gè)量變化，另一個(gè)量會(huì)隨之變化，這是函數(shù)思想的基礎(chǔ)。要讓學(xué)生體會(huì)他們的區(qū)別。(3)結(jié)合具體情境，通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系來(lái)理解等量關(guān)系，并用方程表示等量關(guān)系，再通過(guò)解方程解決問(wèn)題，從而認(rèn)識(shí)方程的作用。(4)結(jié)合簡(jiǎn)單情境，認(rèn)識(shí)成正比例的量或反比例的量，通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律建立比例關(guān)系式，再通過(guò)解比例解決問(wèn)題。(5) 能根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫(huà)圖，并根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值。下面再結(jié)合案例談?wù)劮匠毯秃瘮?shù)思想的教學(xué)。案例1：媽媽買(mǎi)了3千克香蕉和2千克蘋(píng)果，一共花了16元。蘋(píng)果的價(jià)格是香蕉的2倍多1元，蘋(píng)果和香蕉的單價(jià)各是多少？分析：題目涉及的是商品的數(shù)量、單價(jià)和總價(jià)的關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系“”進(jìn)行分析，題中出現(xiàn)了兩種商品，總價(jià)也是兩種商品的總價(jià)。所以等量關(guān)系應(yīng)為“香蕉的單價(jià)×香蕉的數(shù)量＋蘋(píng)果的單價(jià)×蘋(píng)果的數(shù)量＝總價(jià)”。再根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系找出題中已知的量，總價(jià)16元、香蕉的數(shù)量3千克和蘋(píng)果的數(shù)量2千克。未知的是香蕉和蘋(píng)果的單價(jià)，也就是題目中要求的量。設(shè)香蕉的單價(jià)是χ元／千克，蘋(píng)果的單價(jià)是y元／千克。根據(jù)題意，可列出如下方程。3χ＋2y＝16，y＝2χ＋1。根據(jù)等量代換的原理，兩個(gè)方程可合并成一個(gè)方程，3χ＋2(2χ＋1)＝16。這是在小學(xué)數(shù)學(xué)中遇到含有有關(guān)系的兩個(gè)未知數(shù)的方程時(shí)能夠直接列出一個(gè)方程的依據(jù)。如和倍、差倍、雞兔同籠等問(wèn)題，用方程解決也是利用了這個(gè)原理。解方程，χ＝2, y＝5。案例2：小明家的果園供游人采摘桃，每千克10元。請(qǐng)寫(xiě)出銷(xiāo)售桃的總價(jià)(總收入)y元與數(shù)量(千克數(shù)) χ之間的關(guān)系式。如果某天的銷(xiāo)量是50千克，這天的總收入是多少？如果上個(gè)月的總收入是12000元，上個(gè)月的銷(xiāo)量是多少？分析：此題涉及的也是商品的單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)的關(guān)系，仍然要根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)”進(jìn)行分析。根據(jù)題意，已知的量是單價(jià)，未知的量是總價(jià)和數(shù)量，題目已經(jīng)告訴我們分別用y和χ表示。因?yàn)樘业膯蝺r(jià)一定，所以它的總價(jià)與數(shù)量成正比例，可列關(guān)系式：y＝10χ。某天的銷(xiāo)量是50千克，總收入是500元。上個(gè)月的總收入是12000元，銷(xiāo)量是1200千克。案例2和案例1相比較，都有兩個(gè)量分別用y和χ表示。案例1中的y和χ雖然是未知的量，但是它們實(shí)際上是具體的靜止的常量，都有一個(gè)固定的值，通過(guò)解方程可以得到它們的值。案例2的兩個(gè)量y和χ則是相關(guān)聯(lián)的變化的量，χ的取值可以是一定范圍內(nèi) (果園內(nèi)桃子總質(zhì)量的最大值以?xún)?nèi)) 的任何一個(gè)數(shù)，y隨χ的變化而變化。只有y和χ中的一個(gè)量取一個(gè)具體的值時(shí)，另一個(gè)量才會(huì)相應(yīng)地取一個(gè)具體的值。如案例2中的具體問(wèn)題的解答。案例3：有一批捐贈(zèng)的圖書(shū)分給一個(gè)班的學(xué)生，如果每人分3本，則還缺15本；如果每人分2本，則剩余25本。這個(gè)班有多少學(xué)生？分析：根據(jù)題意，這批書(shū)的數(shù)量和學(xué)生人數(shù)都是定值，那么表示書(shū)的數(shù)量的式子應(yīng)該相等。題目求的是學(xué)生的數(shù)量，可設(shè)為未知數(shù)，書(shū)的數(shù)量可由學(xué)生的數(shù)量表示。設(shè)這個(gè)班有χ名學(xué)生，那么書(shū)的數(shù)量可分別表示為3χ－15和2χ＋25，因此，可列方程3χ－15＝2χ＋25。解方程，χ＝40。案例4:無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.777…和0.747474…如何化成分?jǐn)?shù)？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？分析：根據(jù)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)比較容易進(jìn)行。由于無(wú)限循環(huán)小數(shù)具有位數(shù)無(wú)限的特點(diǎn)，不能直接用有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行。根據(jù)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)不斷重復(fù)出現(xiàn)的特點(diǎn)，循環(huán)節(jié)是幾位數(shù)字，就把這個(gè)循環(huán)小數(shù)乘10的幾次方；它的左起第一個(gè)循環(huán)節(jié)就變成了整數(shù)部分，而循環(huán)小數(shù)部分不會(huì)改變；二者的小數(shù)部分相同，二者的差為由循環(huán)節(jié)變成的整數(shù)部分。因此，可利用差倍問(wèn)題的原理，列方程解決問(wèn)題。如設(shè)χ＝0.777…，那么10χ＝7.777…,求它們的差，10χ－χ＝7，解方程，，所以0.777…＝。同理可得，100χ－χ＝74，，所以0.747474…＝。無(wú)限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律是：把循環(huán)節(jié)組成的數(shù)作為分子，循環(huán)節(jié)有幾位數(shù)字，分母就是由幾個(gè)9組成的幾位數(shù)。六、幾何變換思想變換是數(shù)學(xué)中一個(gè)帶有普遍性的概念，代數(shù)中有數(shù)與式的恒等變換、幾何中有圖形的變換。在初等幾何中，圖形變換是一種重要的思想方法，它以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)處理孤立靜止的幾何問(wèn)題，往往在解決問(wèn)題的過(guò)程中能夠收到意想不到的效果。1. 初等幾何變換的概念。初等幾何變換是關(guān)于平面圖形在同一個(gè)平面內(nèi)的變換，在中小學(xué)教材中出現(xiàn)的相似變換、合同變換等都屬于初等幾何變換。合同變換實(shí)際上就是相似比為1的相似變換，是特殊的相似變換。合同變換也叫保距變換，分為平移、旋轉(zhuǎn)和反射(軸對(duì)稱(chēng))變換等。(1)平移變換。將平面上任一點(diǎn)P變換到P′，使得：(1) 射線PP′的方向一定；(2) 線段PP′的長(zhǎng)度一定，則稱(chēng)這種變換為平移變換。也就是說(shuō)一個(gè)圖形與經(jīng)過(guò)平移變換后的圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相互平行且相等。平移變換有以下一些性質(zhì)：①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長(zhǎng)不變。②在平移變換下兩點(diǎn)之間的方向保持不變。如任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ′和Ｂ′，則有ＡＢ∥Ａ′Ｂ′。③在平移變換下兩點(diǎn)之間的距離保持不變。如任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ′和Ｂ′，則有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。在解初等幾何問(wèn)題時(shí)，常利用平移變換使分散的條件集中在一起，具有更緊湊的位置關(guān)系或變換成更簡(jiǎn)單的基本圖形。(2)旋轉(zhuǎn)變換。在同一平面內(nèi)，使原點(diǎn)O變換到它自身，其他任何點(diǎn)X變換到X′，使得：(1)OX′=OX；(2)∠XOX′=θ(定角)；則稱(chēng)這樣的變換為旋轉(zhuǎn)變換。O稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)中心，定角θ為旋轉(zhuǎn)角。當(dāng)θ>0時(shí)，為逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；當(dāng)θ<0時(shí)，為順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。當(dāng)θ等于平角時(shí)，旋轉(zhuǎn)變換就是中心對(duì)稱(chēng)。通俗地說(shuō)就是一個(gè)圖形圍繞一個(gè)定點(diǎn)在不變形的情況下轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的運(yùn)動(dòng)，就是旋轉(zhuǎn)。在旋轉(zhuǎn)變換下，圖形的方位可能有變化。旋轉(zhuǎn)變換有以下一些性質(zhì)：①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長(zhǎng)不變。②在旋轉(zhuǎn)變換下，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ′和Ｂ′，則有直線ＡＢ和直線Ａ′Ｂ′所成的角等于θ。③在旋轉(zhuǎn)變換下，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ′和Ｂ′，則有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。在解決幾何問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)的作用是使原有圖形的性質(zhì)得以保持，但通過(guò)改變其位置，組合成新的圖形，便于計(jì)算和證明。(3)反射變換。在同一平面內(nèi)，若存在一條定直線Ｌ，使對(duì)于平面上的任一點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′，其連線PP′的中垂線都是Ｌ，則稱(chēng)這種變換為反射變換，也就是常說(shuō)的軸對(duì)稱(chēng)，定直線Ｌ稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)軸，也叫反射軸。軸對(duì)稱(chēng)有如下性質(zhì)：①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長(zhǎng)不變。②在反射變換下，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ′和Ｂ′，則有直線ＡＢ和直線Ａ′Ｂ′所成的角的平分線為Ｌ。③兩點(diǎn)之間的距離保持不變，任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ′和Ｂ′，則有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形。把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)。軸對(duì)稱(chēng)變換和軸對(duì)稱(chēng)圖形是兩個(gè)不同的概念，前者是指圖形之間的關(guān)系或折疊運(yùn)動(dòng)，后者是指一個(gè)圖形。中小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多圖形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，利用這些圖形的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，可以幫助我們解決一些計(jì)算和證明的幾何問(wèn)題。(4)相似變換。在同一平面內(nèi)，圖形中的任意兩點(diǎn)A、B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′、B′，也就是任一線段AB變換成A′B′，總有A′B′＝K·AB(K>0，且為常數(shù))，則稱(chēng)為相似變換。通俗地說(shuō)就是一個(gè)圖形按照一定比例放大或縮小，圖形的形狀不變。其中的K稱(chēng)為相似比或相似系數(shù)，當(dāng)K＝1時(shí)，即為合同變換。相似變換有以下一些性質(zhì)：①兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)的比等于相似比。②兩個(gè)圖形的面積的比等于相似比的平方。③兩條直線的夾角保持不變。生活中的許多現(xiàn)象都滲透著相似變換的思想，如物體和圖形在光線下的投影、照片和圖片的放大或縮小、零件的圖紙等等，因而利用相似變換可以解決生活中的一些幾何問(wèn)題。2. 幾何變換思想的重要意義。課程改革以來(lái)，幾何的教學(xué)已經(jīng)由傳統(tǒng)的注重圖形的性質(zhì)，周長(zhǎng)、面積和體積等的計(jì)算、演繹推理能力轉(zhuǎn)變?yōu)榕囵B(yǎng)空間觀念、計(jì)算能力、推理能力及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Σ⒅氐娜娴摹⒑椭C的發(fā)展。其中推理不僅僅重視演繹推理，還特別強(qiáng)調(diào)合情推理。也就是說(shuō)，新課程的理念在幾何的育人功能方面注重空間觀念、創(chuàng)新精神、探索能力、推理能力、計(jì)算能力、幾何模型等全面、和諧的發(fā)展。而圖形變換作為幾何領(lǐng)域的重要內(nèi)容和思想方法之一，在幾何的育人功能方面發(fā)揮著非常重要的作用。圖形變換來(lái)源于生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)的這些運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，因而了解圖形的變換，有利于我們認(rèn)識(shí)生活中豐富多彩的生活空間和形成初步的空間觀念。利用圖形變換設(shè)計(jì)美麗的圖案，有利于感受、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造生活的美，有利于認(rèn)識(shí)圖形之間的關(guān)系和發(fā)展空間觀念。利用圖形變換把靜止的幾何問(wèn)題通過(guò)運(yùn)動(dòng)變換，找到更加簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題的方法。3. 幾何變換思想的具體應(yīng)用。圖形變換作為空間與圖形領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，在圖形的性質(zhì)的認(rèn)識(shí)、面積公式的推導(dǎo)、面積的計(jì)算、圖形的設(shè)計(jì)和欣賞、幾何的推理證明等方面都有重要的應(yīng)用。小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何變換思想的應(yīng)用如下表。思想方法知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例軸對(duì)稱(chēng)畫(huà)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱(chēng)圖形認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱(chēng)圖形，畫(huà)出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形平移變換認(rèn)識(shí)平移，把簡(jiǎn)單圖形平移判斷生活中物體的運(yùn)動(dòng)哪些是平移現(xiàn)象畫(huà)出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形旋轉(zhuǎn)變換感知旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象判斷生活中物體的運(yùn)動(dòng)哪些是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象把簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn)90°畫(huà)出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形合同變換圖形的性質(zhì)、面積的計(jì)算平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式的推導(dǎo)等都滲透了幾何變換思想圖案的欣賞和設(shè)計(jì)判斷一些圖案是由一些基本圖形經(jīng)過(guò)什么變換得到的；利用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)等變換，設(shè)計(jì)美麗的圖案相似變換把簡(jiǎn)單圖形放大或縮小畫(huà)出長(zhǎng)方形、正方形、三角形等簡(jiǎn)單的圖形按照一定的比例放大或縮小后的圖形4．幾何變換思想的教學(xué)。(1)課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于圖形變換的教學(xué)要求。課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于圖形變換的內(nèi)容和目標(biāo)分為以下幾個(gè)層次：學(xué)段內(nèi)容和目標(biāo)第一學(xué)段結(jié)合生活實(shí)例，感知平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象。在方格紙上畫(huà)出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱(chēng)圖形，在方格紙上畫(huà)出簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形第二學(xué)段認(rèn)識(shí)圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，體會(huì)圖形的相似確定軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，在方格紙上畫(huà)出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形在方格紙上畫(huà)出簡(jiǎn)單圖形平移或旋轉(zhuǎn)90°后的圖形；在方格紙上畫(huà)出簡(jiǎn)單圖形按一定比例放大或縮小后的圖形判斷一些圖案是由一些基本圖形經(jīng)過(guò)什么變換得到的，利用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)等變換，設(shè)計(jì)圖案(2)教學(xué)中需要注意的問(wèn)題。圖形變換在大綱時(shí)代的小學(xué)幾何中只學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱(chēng)，而且不是幾何中的主要內(nèi)容。課程標(biāo)準(zhǔn)與大綱相比，在第一、二學(xué)段的空間與圖形領(lǐng)域的圖形變換方面，新增加了平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換。這些內(nèi)容雖然難度不大，但是對(duì)概念的準(zhǔn)確性和教學(xué)要求比較難把握，給一些教師的備課和教學(xué)帶來(lái)一定困惑。下面談一談如何把握相關(guān)的概念和教學(xué)要求。第一，對(duì)一些概念的準(zhǔn)確把握。平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)變換與生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象不是一個(gè)概念。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，但不等于生活，是生活現(xiàn)象的抽象和概括。生活中的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象往往是物體的運(yùn)動(dòng)，如推拉窗、傳送帶、電梯、鐘擺、旋轉(zhuǎn)門(mén)等物體的運(yùn)動(dòng)，都可以稱(chēng)之為平移現(xiàn)象或旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。而中小學(xué)中的幾何變換都是指平面圖形在同一個(gè)平面的變換，也就是說(shuō)原圖形和變換后的圖形都是平面圖形，而且都在同一個(gè)平面內(nèi)。幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)自于生活中物體的平移現(xiàn)象、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象和軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象，如果把生活中這些物體畫(huà)成平面圖形，并且在同一平面上運(yùn)動(dòng)，就可以說(shuō)成是幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)變換了。一個(gè)變換是不是合同變換或相似變換，要依據(jù)概念進(jìn)行判斷。如課程標(biāo)準(zhǔn)要求小學(xué)階段的平移限于水平方向和豎直方向，實(shí)際上平移也可以沿斜線方向平移，只要滿(mǎn)足平移的兩個(gè)條件。如高山索道、滑雪等都可以看成平移現(xiàn)象，畫(huà)成平面圖形就是平移變換。再如旋轉(zhuǎn)，象旋轉(zhuǎn)門(mén)、螺旋槳、水龍頭等都可以看成旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，但是要注意它的嚴(yán)密性：一是旋轉(zhuǎn)中心必須固定，二是物體不能變形，三是旋轉(zhuǎn)的角度可大可小，可以是1度，也可以是300度。這樣的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)畫(huà)成平面圖形在同一平面的運(yùn)動(dòng)才是旋轉(zhuǎn)變換。另外，幾何意義上的變換都是從圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)及其連線的幾何性質(zhì)進(jìn)行描述的，與圖形的顏色等無(wú)關(guān)。案例1：一輛汽車(chē)在筆直平坦的道路上行駛，這輛汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)是平移嗎？如果這輛汽車(chē)急剎車(chē)，輪胎抱死在道路上滑行是平移嗎？分析：嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，物體的平移應(yīng)該保證物體不變形而且物體上的點(diǎn)在物體上的位置是固定的，輪胎在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)就不是平移了，輪胎抱死滑行就是平移。因此，前者不是平移，后者是平移。案例2：一架直升飛機(jī)在按一定速度飛行時(shí)螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)嗎？它停在陸地上時(shí)螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)嗎？分析：直升飛機(jī)在按一定速度飛行時(shí)螺旋槳在轉(zhuǎn)動(dòng)，但是它的旋轉(zhuǎn)中心一直在移動(dòng)，沒(méi)有固定，因此不能看成幾何意義上的旋轉(zhuǎn)，只能說(shuō)它是生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。當(dāng)它停在陸地上時(shí)螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)就可以看成旋轉(zhuǎn)了。案例3：下面的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？分析：一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩邊的部分能夠完全重合，這樣的圖形才是軸對(duì)稱(chēng)圖形，而光有四周或輪廓重合是不夠的。圖(1)從三角形的頂點(diǎn)向底邊作一條垂線，垂線兩邊的輪廓能夠重合，但是小方格沒(méi)有對(duì)應(yīng)的重合的部分，因此，它不是軸對(duì)稱(chēng)圖形。圖(2)是軸對(duì)稱(chēng)圖形。第二，注意圖形變換與其它幾何知識(shí)的聯(lián)系。小學(xué)幾何中的很多平面圖形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，如長(zhǎng)方形、正方形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形、菱形、圓等。一方面要在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)加強(qiáng)對(duì)這些圖形的對(duì)稱(chēng)軸和軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)；另一方面要在學(xué)習(xí)這些圖形的概念和性質(zhì)時(shí)進(jìn)一步體會(huì)它們的軸對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)。在推導(dǎo)平行四邊形、三角形和梯形的面積公式時(shí)，包括在計(jì)算組合圖形的面積時(shí)，都用到了變換思想。如三角形面積公式的推導(dǎo)，是把任意兩個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，再利用三角形和平行四邊形的關(guān)系，求出三角形的面積公式。這實(shí)際上是把任意一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)180度，再沿著一條邊平移，就組合成了一個(gè)平行四邊形。也就是說(shuō)，把任意一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移變換，就變換成了平行四邊形。梯形面積公式的推導(dǎo)也是利用了這個(gè)原理。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽利用出入相補(bǔ)原理求三角形和梯形的面積，實(shí)際上也用到了旋轉(zhuǎn)變換。案例4:小明家的院子里有一塊長(zhǎng)30米、寬20米的長(zhǎng)方形菜地，地里有兩條相互垂直而且寬都是1米的小路。這塊地實(shí)際種菜的面積是多少？分析：此題對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，并不是難題，可以有多種方法。這里可以應(yīng)用平移原理，把小路向底邊和右邊平移。這時(shí)實(shí)際種菜的面積就轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)29米、寬19米的長(zhǎng)方形的面積，用長(zhǎng)乘寬就可求出面積。案例5: 如圖所示，三個(gè)同心圓的最大的圓的兩條直徑相互垂直，最大的圓的半徑是2cm，求陰影部分的面積。分析：此題從表面上看，陰影部分比較分散，沒(méi)有足夠的數(shù)據(jù)計(jì)算每部分陰影的面積。根據(jù)兩條直徑相互垂直可以得出每個(gè)圓都被平均分成了4份，每一份旋轉(zhuǎn)90度都可以與相鄰的部分重合。因此，可以把最外圈陰影部分的四分之一大圓繞圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，把中間陰影部分的四分之一圓繞圓心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，使陰影經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)集中在右上角四分之一大圓里。陰影的面積為：×π×22=π(cm2)。以上解題思路告訴我們，在計(jì)算一個(gè)圖形尤其是組合圖形的面積時(shí)，利用變換原理可以使原有的圖形得到新的組合圖形，轉(zhuǎn)化為易于計(jì)算面積的圖形，從而簡(jiǎn)化計(jì)算的步驟。第三，對(duì)教學(xué)要求和解題方法的準(zhǔn)確把握。如前所述，課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)圖形變換的內(nèi)容和教學(xué)要求有比較清晰的描述，尤其是要把握好兩個(gè)學(xué)段的內(nèi)容、教學(xué)要求和解題方法。首先像直觀判斷題，例如，一個(gè)平面內(nèi)有若干圖形，要判斷哪些圖形經(jīng)過(guò)平移可以互相重合，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)很難用任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等來(lái)判斷，只能通過(guò)直觀感受判斷，也就是說(shuō)直觀感受原圖形在沒(méi)有任何轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，通過(guò)水平、豎直或者沿斜線滑動(dòng)能夠與另一個(gè)圖形重合，就是平移。同一平面內(nèi)的任何兩個(gè)圖形，如果通過(guò)平移后能夠重合，那么最多只需要通過(guò)兩次水平或者豎直方向的平移就能夠重合，借助方格紙可以幫助我們理解其中的道理。如在方格紙上原圖形中的點(diǎn)Ａ(2，3)，經(jīng)過(guò)平移后它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′(8，10）。那么原圖形可以通過(guò)先向右平移6格，再向上平移7格；或者先向上平移7格，再向右平移6格，得到平移后的圖形。其次像作圖題，例如，畫(huà)出一個(gè)圖形沿著一個(gè)方向平移幾格后的圖形，應(yīng)讓學(xué)生明確，一個(gè)圖形沿著一個(gè)方向平移幾格，那么這個(gè)圖形上的任何一個(gè)點(diǎn)和線段都沿著相同的方向平移幾格?？芍攸c(diǎn)掌握以下幾個(gè)步驟：找出圖形的關(guān)鍵的幾個(gè)點(diǎn)；明確平移的方向和距離；畫(huà)出平移后關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；按照原圖形的順序連結(jié)各個(gè)點(diǎn)。再如，畫(huà)出一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)90度后的圖形，應(yīng)讓學(xué)生明確，一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)沿一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)多少度，那么這個(gè)圖形上的任何一個(gè)點(diǎn)和線段都圍繞該點(diǎn)沿著相同的方向旋轉(zhuǎn)相同的度數(shù)?？芍攸c(diǎn)掌握以下幾個(gè)步驟：確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向；找出圖形的關(guān)鍵的幾個(gè)點(diǎn)；畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；按照原圖形的順序連結(jié)各個(gè)點(diǎn)。其中的難點(diǎn)是，圖形的關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線是斜線的時(shí)候如何旋轉(zhuǎn)90度，可以先畫(huà)能夠確定旋轉(zhuǎn)90度的線段，再根據(jù)原圖形的形狀特點(diǎn)來(lái)確定其他的關(guān)鍵點(diǎn)。另外，在學(xué)習(xí)利用平行線畫(huà)平行四邊形之前，還可以利用平移在方格紙上畫(huà)平行四邊形，在方格紙上先任意畫(huà)出頂點(diǎn)在方格交叉點(diǎn)上的相鄰兩條邊，再根據(jù)平移的原理畫(huà)出相對(duì)的兩條邊。七、分類(lèi)討論思想1. 分類(lèi)討論思想的概念。人們面對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，有時(shí)無(wú)法通過(guò)統(tǒng)一研究或者整體研究解決，需要把研究的對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)并逐類(lèi)進(jìn)行討論，再把每一類(lèi)的結(jié)論綜合，使問(wèn)題得到解決，這種解決問(wèn)題的思想方法就是分類(lèi)討論的思想方法。其實(shí)質(zhì)是把問(wèn)題“分而治之、各個(gè)擊破、綜合歸納”。其分類(lèi)規(guī)則和解題步驟是：（1）根據(jù)研究的需要確定同一分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)；（2）恰當(dāng)?shù)貙?duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)，分類(lèi)后的所有子項(xiàng)之間既不能“交叉”也不能“從屬”，而且所有子項(xiàng)的外延之和必須與被分類(lèi)的對(duì)象的外延相等，通俗地說(shuō)就是要做到“既不重復(fù)又不遺漏”；（3）逐類(lèi)逐級(jí)進(jìn)行討論；（4）綜合概括、歸納得出最后結(jié)論。分類(lèi)討論既是解決問(wèn)題的一般的思想方法，適應(yīng)于各種科學(xué)的研究；同時(shí)也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域解決問(wèn)題較常用的思想方法。2. 分類(lèi)討論思想的重要意義。課程標(biāo)準(zhǔn)在總目標(biāo)中要求學(xué)生能夠有條理地思考，這種有條理性的思考就是一種有順序的、有層次的、全面的、有邏輯性的思考，分類(lèi)討論就是具有這些特性的思考方法。因此，分類(lèi)討論思想是培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考和良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的一種重要而有效的方法。無(wú)論是解決純數(shù)學(xué)問(wèn)題，還是解決聯(lián)系實(shí)際的問(wèn)題，都要注意數(shù)學(xué)原理、公式和方法在一般條件下的適用性和特殊情況下的不適用性，注意分類(lèi)討論，從而做到全面地思考和解決問(wèn)題。從知識(shí)的角度而言，把知識(shí)從宏觀到微觀不斷地分類(lèi)學(xué)習(xí)，既可以把握全局、又能夠由表及里、細(xì)致入微，有利于形成比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。分類(lèi)討論思想與集合思想也有比較密切的聯(lián)系，知識(shí)的分類(lèi)無(wú)時(shí)不滲透著集合的思想。另外，分類(lèi)討論思想還是概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。3. 分類(lèi)討論思想的具體應(yīng)用。分類(lèi)討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有很多應(yīng)用，例如從宏觀的方面而言，小學(xué)數(shù)學(xué)可以分為數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率和實(shí)踐與綜合應(yīng)用四大領(lǐng)域。從比較具體的知識(shí)來(lái)說(shuō)，幾大領(lǐng)域的知識(shí)又有很多分支，例如小學(xué)數(shù)學(xué)中負(fù)數(shù)成為必學(xué)的內(nèi)容以后，小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)的認(rèn)識(shí)范圍實(shí)際上是在有理數(shù)范圍內(nèi)，有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)又可以分為正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)，整數(shù)根據(jù)它的整除性又可以分為偶數(shù)和奇數(shù)。正整數(shù)又可以分為1、素?cái)?shù)和合數(shù)。小學(xué)數(shù)學(xué)中分類(lèi)討論思想的應(yīng)用如下表。思想方法知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例分類(lèi)討論思想分類(lèi)一年級(jí)上冊(cè)物體的分類(lèi)，滲透分類(lèi)思想、集合思想數(shù)的認(rèn)識(shí)數(shù)可以分為正數(shù)、０、負(fù)數(shù)有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)（小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)）整數(shù)的性質(zhì)整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)正整數(shù)可以分為1、素?cái)?shù)和合數(shù)圖形的認(rèn)識(shí)平面圖形中的多邊形可以分為：三角形、四邊形、五邊形、六邊形…三角形按角可以分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三角形按邊可以分為；不等邊三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以分為等邊三角形和腰與底邊不相等的等腰三角形四邊形按對(duì)邊是否平行可以分為：平行四邊形、梯形和兩組對(duì)邊都不平行的四邊形統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分類(lèi)整理和描述排列組合分類(lèi)討論是小學(xué)生了解排列組合思想的基礎(chǔ)概率排列組合是概率計(jì)算的基礎(chǔ)植樹(shù)問(wèn)題先確定是幾排樹(shù)，再確定每排樹(shù)的情況：兩端都不栽、一端栽一端不栽、兩端都栽抽屜原理構(gòu)建抽屜實(shí)際上是應(yīng)用分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，把所有元素進(jìn)行分類(lèi)4．分類(lèi)討論思想的教學(xué)。如前所述，分類(lèi)討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中占有比較重要的地位，而且應(yīng)用比較廣泛。在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。第一，在分類(lèi)單元的教學(xué)中，注意滲透分類(lèi)思想和集合思想，一方面是一般物體的分類(lèi)，如柜臺(tái)上的商品、文具等；另一方面要注意從數(shù)學(xué)的角度分類(lèi)，如立體圖形、平面圖形、數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算等。同時(shí)注意滲透集合的思想，就是說(shuō)當(dāng)把某些屬性相同的物體放在一起，作為一個(gè)整體，就可以看作一個(gè)集合。第二，在三大領(lǐng)域知識(shí)的教學(xué)中注意經(jīng)常性地滲透分類(lèi)思想和集合思想，如平面圖形和立體圖形的分類(lèi)、數(shù)的分類(lèi)。第三，注意從數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的方法上滲透分類(lèi)思想，如排列組合、概率的計(jì)算、抽屜原理等問(wèn)題經(jīng)常運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決。第四，在統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的教學(xué)中，滲透分類(lèi)的思想?，F(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)豐富多彩，很多時(shí)候需要把收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類(lèi)整理和描述，從而有利于分析數(shù)據(jù)和綜合地做出推斷。第五，注意讓學(xué)生體會(huì)分類(lèi)的目的和作用，不要為了分類(lèi)而分類(lèi)。如對(duì)商品和物品的分類(lèi)是為了便于管理和選購(gòu)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行分類(lèi)，是為了更深入地研究問(wèn)題、理解知識(shí)、優(yōu)化解決問(wèn)題的方法。第六，注意有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律在一般條件下的適用性和特殊條件下的不適用性。也就是說(shuō)，有些數(shù)學(xué)規(guī)律在一般情況下成立，在特殊情況下不一定成立；而這種特殊性在小學(xué)數(shù)學(xué)里往往被忽略，長(zhǎng)此以往，容易造成學(xué)生思維的片面性。如在小學(xué)里經(jīng)常有爭(zhēng)議的判斷題：如果5a＝2b，那么a：b＝2：5；有人認(rèn)為是對(duì)的，有人認(rèn)為是錯(cuò)的。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，這道題是錯(cuò)的，因?yàn)檫@里并沒(méi)有規(guī)定a和b不等于0。之所以產(chǎn)生分歧，是因?yàn)樵谛W(xué)數(shù)學(xué)里有一個(gè)不成文的約定：在討論整數(shù)的性質(zhì)時(shí)，一般情況下不包括0。這種約定是為了避免麻煩，有一定道理；但是這樣就造成了在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)產(chǎn)生分歧，而且不利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，尤其是學(xué)生進(jìn)入初中后的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題不全面、忽略特殊情況而出現(xiàn)低級(jí)錯(cuò)誤。案例1：下圖中共有多少個(gè)長(zhǎng)方形？分析：此題可分類(lèi)計(jì)數(shù)，分以下幾步：單一的長(zhǎng)方形：3×3＝9；由兩個(gè)單一長(zhǎng)方形組成的長(zhǎng)方形：橫數(shù)2×3＝6，豎數(shù)2×3＝6，6+6=12；由三個(gè)單一長(zhǎng)方形組成的長(zhǎng)方形：橫數(shù)1×3＝3，豎數(shù)1×3＝3，3+3=6；由四個(gè)單一長(zhǎng)方形組成的長(zhǎng)方形：4；由六個(gè)單一長(zhǎng)方形組成的長(zhǎng)方形：4；由九個(gè)單一長(zhǎng)方形組成的長(zhǎng)方形：1。共計(jì) 9+12+6+4+4+1=36（個(gè)）。案例2：任意給出4個(gè)兩兩不等的整數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明：其中必有兩個(gè)數(shù)的差是3的倍數(shù)。分析：任意一個(gè)整數(shù)除以3，余數(shù)只有三種可能：0，1和2。運(yùn)用分類(lèi)思想，構(gòu)造這樣的三個(gè)抽屜：除以3余數(shù)分別是0，1和2的整數(shù)。根據(jù)抽屜原理，必有一個(gè)抽屜里至少放了兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)相等，設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為3m+r和3n+r(m、n都是整數(shù))，它們的差是3(m-n)，必是3的倍數(shù)。八、統(tǒng)計(jì)思想1. 統(tǒng)計(jì)思想的概念。現(xiàn)實(shí)生活中有大量的數(shù)據(jù)需要分析和研究，如人口數(shù)量、物價(jià)指數(shù)、商品合格率、種子發(fā)芽率等等。有時(shí)需要對(duì)所有的數(shù)據(jù)進(jìn)行全面調(diào)查，如我國(guó)為了掌握人口的真實(shí)情況，曾經(jīng)進(jìn)行過(guò)全國(guó)人口普查。一般情況下不可能也不需要考察所有對(duì)象，如物價(jià)指數(shù)、商品合格率等，就需要采取抽樣調(diào)查的方法收集和分析數(shù)據(jù)，用樣本來(lái)估計(jì)總體，從而進(jìn)行合理的推斷和決策，這就是統(tǒng)計(jì)的思想方法。在統(tǒng)計(jì)里主要有兩種估計(jì)方法：一是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，二是用樣本的數(shù)據(jù)特征(如平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù))估計(jì)總體的數(shù)據(jù)特征。2. 統(tǒng)計(jì)思想的重要意義。在課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施前的小學(xué)數(shù)學(xué)中，統(tǒng)計(jì)圖表的知識(shí)也是必學(xué)的內(nèi)容，但受那個(gè)時(shí)代人們觀念的局限，對(duì)統(tǒng)計(jì)的認(rèn)識(shí)和教學(xué)主要限于統(tǒng)計(jì)知識(shí)和技能本身，并沒(méi)有把統(tǒng)計(jì)與信息時(shí)代和市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)社會(huì)很好地聯(lián)系起來(lái)。當(dāng)今社會(huì)，人們每天的日常工作和生活都會(huì)面對(duì)紛繁復(fù)雜的信息和數(shù)據(jù)，如何收集、整理和分析數(shù)據(jù)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)，做出科學(xué)的推斷和決策，是每一個(gè)公民必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維方式。因此，使學(xué)生在義務(wù)教育階段熟悉統(tǒng)計(jì)的思想方法，逐步形成統(tǒng)計(jì)觀念，有助于運(yùn)用隨機(jī)的觀點(diǎn)理解世界，形成科學(xué)的世界觀和方法論。3. 統(tǒng)計(jì)思想的具體應(yīng)用。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用大體上可分為兩種：一是統(tǒng)計(jì)作為四大領(lǐng)域知識(shí)中的一類(lèi)知識(shí)，安排了很多獨(dú)立的單元進(jìn)行統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)；二是在學(xué)習(xí)了一些統(tǒng)計(jì)知識(shí)后，在其他領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)中，都不同程度地應(yīng)用了統(tǒng)計(jì)知識(shí)，作為知識(shí)呈現(xiàn)的載體和解決問(wèn)題的方法進(jìn)行教學(xué)。因而，統(tǒng)計(jì)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是比較廣泛的。小學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)主要有：象形統(tǒng)計(jì)圖、單式統(tǒng)計(jì)表、復(fù)式統(tǒng)計(jì)表、單式條形統(tǒng)計(jì)圖、復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖、單式折線統(tǒng)計(jì)圖、復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，以及不恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)圖表可能產(chǎn)生誤導(dǎo)。這些知識(shí)作為學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)是必須掌握的，但更重要的是能夠根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和解決問(wèn)題的需要選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表或者統(tǒng)計(jì)量來(lái)描述和分析數(shù)據(jù)、做出合理的預(yù)測(cè)和決策。4．統(tǒng)計(jì)思想的教學(xué)。課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布和實(shí)施，賦予了統(tǒng)計(jì)更加豐富的內(nèi)涵。教師要全面理解課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于統(tǒng)計(jì)知識(shí)的內(nèi)容和理念，在教學(xué)中要注意以下幾點(diǎn)。第一，注重過(guò)程性目標(biāo)的教學(xué)。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析、推斷和決策的過(guò)程。包括設(shè)計(jì)合適的調(diào)查表、選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表和統(tǒng)計(jì)量描述數(shù)據(jù)、科學(xué)地分析數(shù)據(jù)并做出合理的決策。統(tǒng)計(jì)的教學(xué)要改變以往注重統(tǒng)計(jì)知識(shí)和技能這種數(shù)學(xué)化的傾向，要讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的全過(guò)程，把統(tǒng)計(jì)與生活密切聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)活生生的統(tǒng)計(jì)，而不是僅僅回答枯燥乏味的純數(shù)學(xué)問(wèn)題。第二，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用，能從統(tǒng)計(jì)的角度思考與數(shù)據(jù)有關(guān)的問(wèn)題。學(xué)會(huì)用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)，能使我們的思維更加理性，避免感性行事。從小學(xué)開(kāi)始就要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的重要作用，為將來(lái)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和走向社會(huì)培養(yǎng)良好的統(tǒng)計(jì)意識(shí)。如作為市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)和信息化社會(huì)的公民，每個(gè)人無(wú)不與經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和投資理財(cái)打交道；如果能夠根據(jù)影響經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的各種主要數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的分析和推斷，做出正確的投資理財(cái)決策、使自己的資產(chǎn)不斷保值和升值，對(duì)于每個(gè)公民意義重大。當(dāng)然，統(tǒng)計(jì)推斷往往是基于用樣本來(lái)估計(jì)總體，屬于合情推理，并不是一種必然的邏輯關(guān)系；因而決策有時(shí)是符合預(yù)期的，有時(shí)也可能不十分正確甚至有可能是錯(cuò)誤的。如中國(guó)2004、2005、2006、2007年的全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值比上一年分別增長(zhǎng)9.5%、9.9%、10.7%、11.4%，根據(jù)這個(gè)變化趨勢(shì)，預(yù)測(cè)2008年有可能增長(zhǎng)12%；這種預(yù)測(cè)是一種簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)推斷，這僅僅是一種可能；換句話(huà)說(shuō)，2008年如果沒(méi)有增長(zhǎng)那么快也是有可能的。實(shí)際上，2008年突發(fā)的全球金融危機(jī)影響了經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，2008年比上年只增長(zhǎng)了9%。第三，能對(duì)給定數(shù)據(jù)的來(lái)源、收集和描述的方法，以及分析的結(jié)論進(jìn)行合理的質(zhì)疑?，F(xiàn)實(shí)生活中的各種統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和信息紛繁復(fù)雜，權(quán)威部門(mén)發(fā)布的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)基本上是科學(xué)可信的，但是有些公司或者廣告發(fā)布的數(shù)據(jù)可能存在偏差。有些數(shù)據(jù)不十分合理或者不夠精細(xì)，從而影響人們的認(rèn)識(shí)和決策，甚至給人們帶來(lái)誤導(dǎo)。學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)知識(shí)以后，尤其是作為未來(lái)的公民，應(yīng)該能夠從科學(xué)、全面、微觀的角度分析數(shù)據(jù)，從而做出正確的判斷和決策。如最近公布的2009年各地區(qū)單位職工年平均工資情況。很多人認(rèn)為自己沒(méi)有這么高的收入，而平均工資為什么會(huì)這么高，因而就質(zhì)疑統(tǒng)計(jì)結(jié)果。如果我們從統(tǒng)計(jì)的角度對(duì)數(shù)據(jù)的來(lái)源進(jìn)行全面、細(xì)致的分析，把平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合起來(lái)，搞清楚數(shù)據(jù)的大致分布情況，就不會(huì)有疑問(wèn)了。這個(gè)數(shù)據(jù)是一個(gè)平均數(shù)，是把各個(gè)單位（不包括個(gè)體戶(hù)）的工資收入總額除以職工總數(shù)得出的平均數(shù)。如某市在統(tǒng)計(jì)的19個(gè)行業(yè)中，有10個(gè)行業(yè)的平均工資低于平均數(shù)，而且這10個(gè)行業(yè)的就業(yè)人數(shù)相對(duì)較多，平均工資最高的行業(yè)是最低行業(yè)的8倍還多。高收入行業(yè)的收入過(guò)高，極端值拉高了平均數(shù)，導(dǎo)致平均數(shù)大于中位數(shù)。實(shí)際上一半以上的人平均工資要低于平均數(shù)，所以很多人認(rèn)為自己的收入“被增長(zhǎng)”了。另外，在小學(xué)階段，由于計(jì)算難度的制約，解決一些統(tǒng)計(jì)問(wèn)題時(shí)選定的樣本容量往往較少，這時(shí)我們要注意這樣的統(tǒng)計(jì)推斷是否可信。如把一個(gè)班級(jí)50 人作為一個(gè)樣本進(jìn)行調(diào)查收集數(shù)據(jù)，進(jìn)而對(duì)全年級(jí)甚至同齡人進(jìn)行估計(jì)，要注意50人的數(shù)據(jù)是否具有代表性。如果調(diào)查50人的身高、體重、血型、鞋子號(hào)碼、服裝型號(hào)分布等等可能是合適的。如果調(diào)查50人出生的月份分布情況，以此來(lái)推斷全年級(jí)甚至同齡人出生的月份，出現(xiàn)差錯(cuò)的可能性會(huì)大一些。因?yàn)橐荒暧?2個(gè)月，50人平均下來(lái)每月也就4到5人，容量太小代表性就差。第四，對(duì)有關(guān)概念應(yīng)正確理解，應(yīng)注重知識(shí)的應(yīng)用，避免單純的數(shù)據(jù)計(jì)算和概念判斷。如平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別，這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量到底在什么條件下適用，一直困擾著很多老師。另外，有些老師喜歡在一些概念上糾纏，而不是關(guān)注知識(shí)的應(yīng)用和實(shí)際意義，如讓學(xué)生找出下面一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)：75 84 84 89 89 92 92 96 98。這樣的問(wèn)題沒(méi)有什么現(xiàn)實(shí)意義，不如給一組聯(lián)系實(shí)際的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生去思考用什么量數(shù)作為該組數(shù)據(jù)一般水平的代表，更有意義。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量數(shù)，代表一般水平。平均數(shù)能反映全體數(shù)據(jù)的信息，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，比較敏感，因而應(yīng)用比較普遍；缺點(diǎn)是易受極端值的影響。日常生活和研究領(lǐng)域的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，多數(shù)都選擇平均數(shù)作為代表值。如我們國(guó)家和地方統(tǒng)計(jì)部門(mén)經(jīng)常公布的人均產(chǎn)值、人均收入、物價(jià)指數(shù)等等，都是應(yīng)用平均數(shù)作為代表值。中位數(shù)處于中間水平，不受極端值的影響，運(yùn)算簡(jiǎn)單，在一組數(shù)據(jù)中起分水嶺的作用；缺點(diǎn)是不能反映全體數(shù)據(jù)的情況，可靠性較差。眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響，運(yùn)算簡(jiǎn)單，當(dāng)要找出適應(yīng)多數(shù)需要的數(shù)值時(shí)，常用眾數(shù)；缺點(diǎn)是不能反映全體數(shù)據(jù)的情況，可靠性較差。眾數(shù)可能不唯一，甚至有時(shí)沒(méi)有。這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量有著各自的特點(diǎn)和適用的條件，可以根據(jù)研究和解決問(wèn)題的需要來(lái)選擇；與中位數(shù)和眾數(shù)比較而言，平均數(shù)可以反映更多的樣本數(shù)據(jù)全體的信息。然而它們?nèi)卟⒉皇且环N完全排斥的關(guān)系，特殊情況下這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量或者其中的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量都有可能成為一組數(shù)據(jù)一般水平的代表。如學(xué)生的考試成績(jī)往往服從正態(tài)分布或者近似正態(tài)分布，那么這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量很可能相等或者非常接近；這時(shí)用三個(gè)統(tǒng)計(jì)量中的任何一個(gè)作為該數(shù)據(jù)一般水平的代表都是可以的。有時(shí)把平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合使用，會(huì)了解更多的信息。如某次數(shù)學(xué)考試全班49人平均分?jǐn)?shù)為92分，小林考93分、排名第25，小明的成績(jī)比小林高2分?？梢园l(fā)現(xiàn)中位數(shù)是93分，小明的成績(jī)處于中上等水平，平均數(shù)低于中位數(shù)，說(shuō)明可能有極端的低分?jǐn)?shù)。案例1：一家公司2008年和2009年職工年工資情況如下表。職務(wù)總經(jīng)理副總經(jīng)理部門(mén)經(jīng)理部門(mén)副經(jīng)理普通員工人數(shù)12810792008年工資／萬(wàn)元875422009年工資／萬(wàn)元108.564.82.3(1)這家公司2008年和2009年職工平均工資各是多少？(2)這家公司對(duì)外宣稱(chēng)，2009年職工平均工資比2008年增長(zhǎng)17%以上，這種說(shuō)法有不妥之處嗎？分析：(1)2008和2009年職工平均工資分別為：(8+2×7+8×5＋10×4＋79×2)÷100=2.6(萬(wàn)元)(10＋2×8.5＋8×6＋10×4.8＋79×2.3)=3.047(萬(wàn)元)(2)(3.047-2.6)÷2.6≈17.2%,(2.3-2)÷2=15%。從全體職工平均工資角度看,2009年比上年增長(zhǎng)確實(shí)超過(guò)17%。但是代表公司大多數(shù)的普通員工的平均工資低于平均數(shù)，增長(zhǎng)率也低于平均增長(zhǎng)率，普通員工與中高級(jí)管理人員的收入差距在逐年擴(kuò)大。案例2：日本和中國(guó)2009年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)大約分別是49660、49270億美元，分別排名世界第二和第三。如果中國(guó)人口總數(shù)按13.4 億計(jì)算，日本人口總數(shù)大約是中國(guó)的9.3%。在參與統(tǒng)計(jì)的183個(gè)經(jīng)濟(jì)體中，人均GDP日本排在第17位，中國(guó)排在第101位，排在第92位的人均GDP為4059美元。比較中國(guó)和日本GDP的總量及人均GDP，并結(jié)合中位數(shù)分析，你能發(fā)現(xiàn)哪些信息？分析：從GDP總量上來(lái)說(shuō)，中國(guó)已經(jīng)排名世界第三，而且與排名第二位的日本非常接近，可以發(fā)現(xiàn)中國(guó)是世界經(jīng)濟(jì)大國(guó)。但是從平均數(shù)的角度看，日本人均GDP為39728美元，中國(guó)為3677美元，中國(guó)遠(yuǎn)落后于日本，而且低于中位數(shù)4059美元，說(shuō)明我們的人均GDP處于中下水平，與中等水平相差大約10%。案例3：有關(guān)部門(mén)對(duì)一個(gè)社區(qū)的100個(gè)居民月度人均用水量進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下表：用水量／噸23456人數(shù)／人82440226(1)計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。(2)什么數(shù)可以代表居民人均用水量的一般水平？(3)如果采取階梯水價(jià)，標(biāo)準(zhǔn)用水量以上加價(jià)收費(fèi)，希望至少70％的居民不受影響，你認(rèn)為人均標(biāo)準(zhǔn)用水量定為多少比較合適？分析：(1)平均數(shù)：(2×8＋3×24＋4×40＋5×22＋6×6)÷100=3.94(噸)中位數(shù)和眾數(shù)都是4噸。(2)中位數(shù)和眾數(shù)相等，平均數(shù)也約等于中位數(shù)和眾數(shù)，這三個(gè)量差別很小，都可以作為該組數(shù)據(jù)一般水平的代表。(3)100×70%=70，用水量在4噸及以下的人數(shù)為72人，所以人均標(biāo)準(zhǔn)用水量定為4噸比較合適。九、概率思想1. 概率思想的概念。生活中的事件可以分成兩類(lèi)：一類(lèi)是確定事件，在一定條件下一定發(fā)生的和一定不會(huì)發(fā)生的，這些事件都是確定事件；如每天日出日落、四季輪回是一定發(fā)生的，而擲兩枚骰子朝上的兩個(gè)數(shù)字的和是13是不可能發(fā)生的。另一類(lèi)是隨機(jī)事件，就是在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，如一個(gè)產(chǎn)婦生男嬰還是生女?huà)?、某種子的發(fā)芽率、某產(chǎn)品的合格率等事件，都是隨機(jī)事件。這些隨機(jī)事件表面上看雜亂無(wú)章，但是大量地重復(fù)觀察這些事件時(shí)，這些隨機(jī)事件會(huì)呈現(xiàn)規(guī)律性，這種規(guī)律叫統(tǒng)計(jì)規(guī)律，概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，統(tǒng)計(jì)與概率有著密切的聯(lián)系。（1）事件的分類(lèi)。事件可以分為確定事件和隨機(jī)事件，其中確定事件又可以分為必然事件和不可能事件。在一定條件下一定發(fā)生的是必然事件，一定不會(huì)發(fā)生的是不可能事件。（2）頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系。隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小是概率論研究的主要內(nèi)容，通過(guò)試驗(yàn)來(lái)觀察隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小是常用的方法。在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，某一事件Ａ出現(xiàn)的次數(shù)m就是頻數(shù)，m/n就是事件Ａ出現(xiàn)的頻率。如果試驗(yàn)的次數(shù)不斷增加，事件Ａ發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，就把這個(gè)常數(shù)記作Ｐ(A)，稱(chēng)為事件Ａ的概率。事件的概率是確定的、不變的常數(shù)，是理論上的精確值；而頻率是某次具體試驗(yàn)的結(jié)果，是不確定的、變化的數(shù)，盡管這種變化可能非常的小。這里的概率是用頻率來(lái)界定的，在等可能性隨機(jī)試驗(yàn)中，雖然頻率總是在很小的范圍內(nèi)變化，但我們可以認(rèn)為頻率和概率的相關(guān)性非常的強(qiáng)。也就是說(shuō)，在一次試驗(yàn)中，事件Ａ出現(xiàn)的頻率越大、事件Ａ的概率就越大；事件Ａ出現(xiàn)的頻率越小、事件Ａ的概率就越小。反之亦然。(3)兩種概率模型。古典概模：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件是有限的，每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。如比較經(jīng)典的投硬幣和擲骰子試驗(yàn)，都屬于這種概率模型。幾何概型：試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積、體積）成比例。如比較常見(jiàn)的轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，就是幾何概率模型。2. 概率思想的重要意義。生活中的很多現(xiàn)象都是隨機(jī)現(xiàn)象，如氣候變化、物價(jià)變化、體育比賽、汽車(chē)流量、彩票中獎(jiǎng)等等。這些隨機(jī)事件，如果能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)它發(fā)生的可能性的大小，就會(huì)為我們的工作和生活帶來(lái)很多方便、解決很多問(wèn)題。隨著科技的發(fā)展，氣象部門(mén)已經(jīng)能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)天氣變化，對(duì)氣溫、降水量、風(fēng)力、風(fēng)向等的變化作出比較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，幫助人們提早做出預(yù)防，從而減少災(zāi)害的發(fā)生。這些現(xiàn)象都離不開(kāi)對(duì)數(shù)據(jù)的分析以及對(duì)事件發(fā)生可能性大小的定量刻畫(huà)，從而做出合理的預(yù)測(cè)和決策，這正是統(tǒng)計(jì)與概率研究的主要內(nèi)容。因而，統(tǒng)計(jì)與概率的思想方法既是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是人們?cè)谏詈凸ぷ髦斜仨氄莆盏摹?div style="height:15px;">