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系統(tǒng)的牛頓第二定律與整體法
在靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)問題中，涉及到系統(tǒng)外力時(shí)，我們往往采用整體法處理，但是很多資料并沒有講清楚整體法的適用條件，以及背后的理論基礎(chǔ)，甚至限定只允許在幾個(gè)物體相對(duì)靜止時(shí)使用整體法，使得整體法的適用范圍大大縮小。本文則從系統(tǒng)的牛頓第二定律入手，奠定整體法解決靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)問題的理論基礎(chǔ)，并通過實(shí)例展示整體法的廣闊應(yīng)用空間。
一、系統(tǒng)的牛頓第二定律
1、推導(dǎo)
如圖所示，兩個(gè)物體組成一個(gè)系統(tǒng)，外界對(duì)系統(tǒng)內(nèi)物體有力的作用（系統(tǒng)外力），系統(tǒng)內(nèi)物體之間也有相互作用（系統(tǒng)內(nèi)力），則
對(duì)1：
對(duì)2：
其中，
聯(lián)立，得：
這個(gè)方程中，等式左邊只剩下系統(tǒng)外力，等式右邊則是各個(gè)部分的質(zhì)量乘以相應(yīng)的加速度然后矢量相加。
上述推導(dǎo)中，研究對(duì)象只有兩個(gè)，但是很容易將上述結(jié)論推廣到任意多個(gè)研究對(duì)象，方法仍然是分別對(duì)各個(gè)物體列動(dòng)力學(xué)方程，然后相加——由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，且每對(duì)內(nèi)力總是等大反向，因此相加的結(jié)果仍然是：等式左邊只剩下系統(tǒng)外力，等式右邊則是各個(gè)部分的質(zhì)量乘以相應(yīng)的加速度然后矢量相加。這個(gè)結(jié)論就是系統(tǒng)的牛頓第二定律，其通式為：

或者： ，
2、理解
系統(tǒng)的牛頓第二定律表達(dá)式左邊只有系統(tǒng)外力，因此它只適用于處理系統(tǒng)外力相關(guān)問題，一旦涉及系統(tǒng)內(nèi)力，則只能用隔離法。系統(tǒng)的牛頓第二定律表達(dá)式右邊為“各個(gè)部分的質(zhì)量乘以相應(yīng)的加速度然后矢量相加”，因此并不要求各個(gè)部分相對(duì)靜止——各個(gè)部分有相對(duì)速度、相對(duì)加速度時(shí)，仍然可以選系統(tǒng)為研究對(duì)象，使用整體法處理問題。
如果系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)部分是相對(duì)靜止的——即各個(gè)部分的加速度、速度均相同，則系統(tǒng)的牛頓第二定律方
程可以簡(jiǎn)化為： ，這就是我們熟悉的幾個(gè)物體相對(duì)靜止時(shí)的整體動(dòng)力學(xué)方程。
對(duì)于這個(gè)方程，我們甚至可以這樣理解——任何物體都是有內(nèi)部結(jié)構(gòu)的，組成物體的各個(gè)部分之間都存在相互作用和相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但是，在處理某些問題時(shí)，當(dāng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)相對(duì)整體運(yùn)動(dòng)可以忽略不計(jì)時(shí)，我們就可以近似的認(rèn)為各個(gè)部分是相對(duì)靜止的，把物體當(dāng)作一個(gè)“質(zhì)點(diǎn)”來處理，從而只需要考慮整體所受外力的影響。比如人站在地面上不動(dòng)，求地面支持力的大小——這個(gè)問題中，人體內(nèi)心臟在跳動(dòng)、血液在流動(dòng)、肺部在呼吸、腸胃在蠕動(dòng)……但是，在大部分問題的處理中，我們往往并不考慮這些，而直接把人體當(dāng)作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來處理了。
不過，上述推導(dǎo)過程中，將系統(tǒng)內(nèi)力進(jìn)行了相加，并且依據(jù)一對(duì)內(nèi)力總是等大反向（牛頓第三定律），認(rèn)為內(nèi)力總和為零。實(shí)際上，內(nèi)力作用對(duì)系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)物體的加速度是有影響的，一對(duì)內(nèi)力的效果是無法抵消的——畢竟它們是作用在不同物體上。因此，內(nèi)力總和為零是從數(shù)學(xué)意義角度處理的，系統(tǒng)的牛頓第二定律是一個(gè)有用的數(shù)學(xué)結(jié)論。有些學(xué)生無法理解明明是作用在1物體上的力，如何會(huì)在2SPAN>
二、整體法的應(yīng)用舉例
因?yàn)椴簧婕跋到y(tǒng)內(nèi)力，所以用整體法處理問題往往來得比隔離法分別處理各個(gè)物體要簡(jiǎn)潔、迅速得多，因此，審題時(shí)要敏銳的把握住題意——是否涉及的是系統(tǒng)外力，或者只需要考慮系統(tǒng)外力即可，如果是，優(yōu)先考慮使用整體法（系統(tǒng)牛頓第二定律）。
1、靜力學(xué)中的應(yīng)用
（1）系統(tǒng)內(nèi)幾個(gè)物體相對(duì)靜止的情況
【例1】(2010·山東理綜)如圖所示，質(zhì)量分別為m₁、m₂的兩個(gè)物體通過輕彈簧連接，在力F的作用下一起沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)(m₁在地面，m₂在空中)，力F與水平方向成θ角．則m₁所受支持力F_N和摩擦力F_f正確的是(　　)
A．F_N＝m₁g＋m₂g－Fsinθ
B．F_N＝m₁g＋m₂g－Fcosθ
C．F_f＝Fcosθ
D．F_f＝Fsinθr>【分析】地面對(duì)m₁的支持力、摩擦力，是“m₁、m₂、輕彈簧整體”的系統(tǒng)外力，因此本題用整體法較快。
【解析】選m₁、m₂、輕彈簧整體為研究對(duì)象，其受力如圖所示，則有：
豎直方向：F_N＋Fsinθ－(m₁＋m₂)g＝0
水平方向：F_f－Fcosθ＝0
解得：F_N＝m1g＋m₂g－Fsinθ，F_f＝Fcosθ。選BC。
【例2】(2014·濟(jì)寧模擬)如圖所示，兩個(gè)光滑金屬球a、b置于一個(gè)桶形容器中，兩球的質(zhì)量m_a>m_b，對(duì)于圖中的兩種放置方式，下列說法正確的是(　　)
A．兩種情況對(duì)于容器左壁的彈力大小相同
B．兩種情況對(duì)于容器右壁的彈力大小相同
C．兩種情況對(duì)于容器底部的彈力大小相同
D．兩種情況兩球之間的彈力大小相同
【分析】容器壁和容器底部對(duì)球的彈力都是系統(tǒng)外力，因此可以使用整體法分析；不過本問題中，系統(tǒng)在水平方向所受外力均為未知力，因此僅僅選整體為研究對(duì)象，是無法求解的。因此需要先選上面的物體為研究對(duì)象，分析出左壁對(duì)球的彈力后，再用整體法才可。
【解析】以上面的金屬球?yàn)檠芯繉?duì)象，其受力如圖1所示，將三個(gè)力按順序首尾相接，得如圖2閉合三角形，則有：F_N1=m_上gtanθ，，由于兩種情況下θI>不變，則m_上減小時(shí)，F_N1、F_N均減小。
選兩球整體為研究對(duì)象，其受力如圖3所示，則有：
豎直方向：F_N地－(m₁＋m₂)g＝0
水平方向：F_N1－F_N2＝0
解得：F_N地=(m₁＋m₂)g不變，F_N1=F_N2＝m_上gtanθ均變化。
本題選C.
（2）系統(tǒng)內(nèi)個(gè)別物體勻速運(yùn)動(dòng)的情況
【例3】(2013·北京理綜·改編)傾角為α、質(zhì)量為M的斜面體靜止放置在粗糙水平桌面上，質(zhì)量為m的木塊恰好能沿斜面體勻速下滑。則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．木塊受到的摩擦力大小是mgcosα
B．木塊對(duì)斜面體的壓力大小是mgsinα
C．桌面對(duì)斜面體的摩擦力大小是mgsinαcos α
D．桌面對(duì)斜面體的支持力大小是(M＋m)g
【分析】桌面對(duì)斜面體的摩擦力和支持力是系統(tǒng)外力，可以選木塊、斜面體系統(tǒng)為研究對(duì)象分析這兩個(gè)力。
【解析】選木塊為研究對(duì)象，易知A應(yīng)為mgsinα、B應(yīng)為mgcosα；選木塊、斜面體系統(tǒng)為研究對(duì)象，其受力如圖所示，由題意，木塊、斜面體加速度均為0，故有：
豎直方向：F_N地－(M＋m)g＝0
水平方向：F_f＝0
解得：F_N地=(M＋m)g。本題選D。
2、動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用
（1）系統(tǒng)內(nèi)幾個(gè)物體相對(duì)靜止的情況
【例4】(2012·江蘇高考)如圖所示，一夾子夾住木塊，在力F作用下向上提升。夾子和木塊的質(zhì)量分別為m、M，夾子與木塊兩側(cè)間的最大靜摩擦力均為f。若木塊不滑動(dòng)，力F的最大值是(　　)
A． B． C．－(m＋M)g D．＋(m＋M)g
【分析】力F是系統(tǒng)外力，可用整體法分析；但是，整體加速度取最大值時(shí)——即臨界點(diǎn)——是在夾子與木塊的接觸面上靜摩擦力最大時(shí)，這是系統(tǒng)內(nèi)力，因此需先用隔離法——選木塊為研究對(duì)象——求出整體加速度的最大值。
【解析】設(shè)系統(tǒng)允許的最大加速度為a。
選木塊為研究對(duì)象，有：2f－Mg=Ma
選整體為研究對(duì)象，有：F－(M+m)g=(M+m)a
聯(lián)立，解得：F=.選A。
【例5】如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放有質(zhì)量均為m的兩個(gè)小物塊A、B，A離轉(zhuǎn)軸中心的距離為L，A、B間用長(zhǎng)為L的細(xì)線相連。開始時(shí)，A、B與軸心在同一直線上，細(xì)線剛好被拉直，A、B與水平轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，求：
(1)當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度達(dá)到多大時(shí)細(xì)線上開始出現(xiàn)張力？
(2)當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度達(dá)到多大時(shí)A物塊開始滑動(dòng)？
【解析】（1）轉(zhuǎn)臺(tái)角速度取值逐漸變大的過程中，B所受靜摩擦力先達(dá)到最大值，此時(shí)對(duì)B，有：，解得：
角速度取值再增大時(shí)，B有離心運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，繩中出現(xiàn)張力。
pan>（2）轉(zhuǎn)臺(tái)角速度取值進(jìn)一步增大，A所受靜摩擦力也逐漸增大到最大值，此時(shí)，對(duì)A、B系統(tǒng)，有：，解得： 。
（2）系統(tǒng)的物體間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況
①直線運(yùn)動(dòng)
【例6】一個(gè)箱子放在水平地面上，箱內(nèi)有一固定的豎直桿，在桿上套著一個(gè)環(huán)，箱與桿的質(zhì)量為M，環(huán)的質(zhì)量為m，如圖所示。已知環(huán)沿桿以加速度a勻加速下滑，則此時(shí)箱對(duì)地面的壓力大小為(　　)
A．Mg br> B．Mg－ma
C．Mg＋mg D．Mg＋mg－ma
【分析】由牛頓第三定律可知，箱對(duì)地面的壓力大小等于地面對(duì)箱的支持力，地面是“箱、環(huán)系統(tǒng)”的外面，因此分析地面對(duì)箱的支持力時(shí)可用整體法。
【解析】選箱、環(huán)系統(tǒng)為研究對(duì)象，其受力如圖所示，由系統(tǒng)的牛頓第二定律，有：
(M＋m)g－F_N=M×0+ma
解得：F_N=(M＋m)g－ma。由牛頓第三定律可知，箱對(duì)地面壓力F’_N=F_N=(M＋m)g－ma。選D.
【例7】如圖所示，滑塊A以一定初速度從粗糙斜面體B的底端沿B向上滑，然后又返回，整個(gè)過程中斜面體B與地面之間沒有相對(duì)滑動(dòng)，那么滑塊向上滑和下滑的兩個(gè)過程中（　　）
A．滑塊向上滑動(dòng)的時(shí)間等于向下滑動(dòng)的時(shí)間
B．滑塊向上滑動(dòng)的時(shí)間大于向下滑動(dòng)的時(shí)間
C．斜面體B受地面的摩擦力大小改變、方向不變
D．斜面體B受地面的支持力大小始終等于A與B的重力之和
【解析】滑塊上滑時(shí)做減速運(yùn)動(dòng)，加速度沿斜面向下，大小為 ，下滑時(shí)做加速運(yùn)動(dòng)，加速度沿斜面向下，大小為 。由于上滑、下滑位移相同，且最高點(diǎn)速度均為零，易知上滑時(shí)間短。