2017年高考備考：高中數(shù)學(xué)易錯點梳理附詳細解析

   數(shù)學(xué)(精品課)中的隱含條件往往最容易被忽視，這些隱含條件通常被稱為題中的“陷阱”，解題過程中一不小心就會掉進去。下列三好網(wǎng)總結(jié)了高考復(fù)習(xí)中的高中數(shù)學(xué)易錯點分析梳理，希望同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中引以為戒，對這些列出來的易錯點別中招了。

一、集合與簡易邏輯

易錯點1  對集合表示方法理解存在偏差

【問題】1: 已知

，求

。

錯解：

剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本質(zhì)。

正確結(jié)果：

【問題】2: 已知

，求

。

錯解：  

 

正確答案：

剖析：審題不慎，忽視代表元素，誤認(rèn)為

為點集。

反思：對集合表示法部分學(xué)生只從形式上“掌握”，對其本質(zhì)的理解存在誤區(qū)，常見的錯誤是不理解集合的表示法，忽視集合的代表元素。

易錯點2 
在解含參數(shù)集合問題時忽視空集

【問題】: 已知

，且

，求

 的取值范圍。

錯解：[-1，0）

剖析：忽視

的情況。

正確答案：[-1，2]

反思：由于空集是一個特殊的集合，它是任何集合的子集，因此對于集合

就有可能忽視了

，導(dǎo)致解題結(jié)果錯誤。尤其是在解含參數(shù)的集合問題時，更應(yīng)注意到當(dāng)參數(shù)在某個范圍內(nèi)取值時，所給的集合可能是空集的情況?？忌捎谒季S定式的原因，往往會在解題中遺忘了這個集合，導(dǎo)致答案錯誤或答案不全面。

易錯點3 
在解含參數(shù)問題時忽視元素的互異性

【問題】: 已知1∈{

,

,

 }，求實數(shù)

的值。

錯解：

 

剖析：忽視元素的互異性，其實當(dāng)

時，

=

=1；當(dāng)

時，

=

=1；均不符合題意。

正確答案：

反思：集合中的元素具有確定性、互異性、無序性，集合元素的三性中的互異性對解題的影響最大，特別是含參數(shù)的集合，實際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。解題時可先求出字母參數(shù)的值，再代入驗證。

易錯點4 
命題的否定與否命題關(guān)系不明

【問題】: 寫出“若

，則

”的否命題。

錯解一：否命題為“若

，則

”

剖析：概念模糊，弄錯兩類命題的關(guān)系。

錯解二：否命題為“若

，則

”

剖析：知識不完整，

的否定形式應(yīng)為

。

正確答案：若

，則

反思：命題的否定是命題的非命題，也就是“保持原命題的條件不變，否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論”所得的命題，但否命題是“否定原命題的條件作為條件，否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論”所得的命題。對此?？忌赡軙竷深愬e誤①概念不清，不會對原命題的條件和結(jié)論作出否定；②審題不夠細心。

易錯點5 
充分必要條件顛倒出錯

【問題】:已知

是實數(shù)，則“

且

”是“

且

”的

A充分而不必要條件  
B必要而不充分條件   C充分必要條件   D既不充分也不必要條件

錯解：選B

剖析：識記不好，不能真正理解充要條件概念，未能掌握判斷充要條件的方法。

正確答案：C

反思：對于兩個條件

，如果

，則

是

的充分條件，

是

的必要條件，如果

，則

是

的充要條件。判斷充要條件常用的方法有①定義法；②集合法；③等價法。解題時最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時，一定要分清條件和結(jié)論，根據(jù)充要條件的定義，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ鞒鰷?zhǔn)確的判斷，不充分不必要常借助反例說明。

易錯點6 
對邏輯聯(lián)結(jié)詞及其真值表理解不準(zhǔn)

【問題】: 命題p：若a、b∈R，則

是

的充分而不必要條件；命題q：函數(shù)y=

的定義域是（－∞，－1

∪[3，+∞

，則

     A“

”為假          B“

”為真        C 

    D

錯解一：選

或

 

剖析：對真值表記憶不準(zhǔn)，本題中

，因此“

”為真，而“

”為假。

錯法二：選

 

剖析：基礎(chǔ)不牢，在判斷命題

真假時出錯。

正確答案：D

反思：含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題稱為復(fù)合命題。在判斷復(fù)合命題真假時，常常因為對概念理解不準(zhǔn)確或真值表記不清而出現(xiàn)錯誤。為此準(zhǔn)確理解概念、巧記真值表是解題的關(guān)鍵。這里介紹一種快速記憶真值表的方法：

“

”——有真則真；“

”——有假則假；“

”——真假相反。

易錯點7 
否定全稱、特稱命題出錯

【問題】寫出下列命題的否定：

①      

：對任意的正整數(shù)x,

 ；

②      
q：存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于

；

③      
r:三角形只有一個外接圓。

錯解：①

：對任意的正整數(shù)x,

；

②

：所有的三角形的內(nèi)角和小于

；

③

存在一個三角形有且只有一個外接圓。

剖析：知識欠缺，基礎(chǔ)不牢導(dǎo)致出錯。

正確答案：①

：存在正整數(shù)x, 使

；

②

：所有的三角形的內(nèi)角和都不大于

；

③

存在一個三角形至少有兩個外接圓。

反思：全稱命題

，它的否定

，特稱命題

，它的否定

。一般來說，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。切記對全稱、特稱命題的否定，不僅要否定結(jié)論

，而且還要對量詞“

”進行否定。另外，對一些省略了量詞的簡化形式，應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來寫出其否定形式。

二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

易錯點8 
求函數(shù)定義域時條件考慮不充分

【問題】: 求函數(shù)y=

+

的定義域。

錯解：[-3，1] 

剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視分母不為零；誤以為

=1對任意實數(shù)成立。

正確答案：

反思：函數(shù)定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，因此求定義域時就要根據(jù)函數(shù)解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數(shù)定義域。在求函數(shù)的定義域時應(yīng)注意以下幾點①分式的分母不為零；②偶次根式被開方式非負；③對數(shù)的真數(shù)大于零；④零的零次冪沒有意義；⑤函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集。

易錯點9 
求復(fù)合函數(shù)定義域時忽視“內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域”

【問題】已知函數(shù)

求函數(shù)

的值域。

錯解：設(shè)

，

，

，

，

。

剖析：知識欠缺，求函數(shù)

定義域時，應(yīng)考慮

.

正確答案：

反思：在復(fù)合函數(shù)中，外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域，求復(fù)合函數(shù)定義域類型為：

①若已知

的定義域為

,其復(fù)合函數(shù)

的定義域可由不等式

解出即可；②若已知

的定義域為

 ,求

的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時，求

的值域（即

 的定義域）。

易錯點分析10 判斷函數(shù)奇偶性時忽視定義域

【問題】1: 判斷函數(shù)

的奇偶性。

錯解：原函數(shù)即

，∴為奇函數(shù)  

剖析：只關(guān)注解析式化簡，忽略定義域。

正確答案：非奇非偶函數(shù)。

【問題】2: 判斷函數(shù)

的奇偶性。

錯解：

，∴為偶函數(shù)  

剖析：不求函數(shù)定義域只看表面解析式，只能得到偶函數(shù)這一結(jié)論，導(dǎo)致錯誤。

正確答案：既奇且偶函數(shù)。

反思：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱。如果不具備這個條件，一定是非奇非偶函數(shù)。在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，如果對定義域內(nèi)任意x都有

，則

為奇函數(shù)；如果對定義域內(nèi)任意x都有

，則

為偶函數(shù)，如果對定義域內(nèi)存在

使

，則

不是奇函數(shù)；如果對定義域內(nèi)存在

使

，則

不是偶函數(shù)。

易錯點11 
求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間時忽視定義域

【問題】: 求函數(shù)

的增區(qū)間。

錯解一：∵外層函數(shù)為減函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)

減區(qū)間為

，∴原函數(shù)增區(qū)間為

。

剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視定義域問題

錯解二：∵

，函數(shù)定義域為

，又內(nèi)層函數(shù)

在

為增函數(shù)，在

為減函數(shù)，∴原函數(shù)增區(qū)間為

。

剖析：識記不好，對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則不熟練。

正確答案：

反思：求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般步驟是①求函數(shù)的定義域；②作出內(nèi)層函數(shù)的圖象；③用“同增異減”法則寫單調(diào)區(qū)間。解此類題通常會出現(xiàn)以下兩類錯誤：一是忽視定義域；二是 “同增異減”法則不會或法則用錯。

易錯點12 
解“二次型函數(shù)”問題時忽視對二次項系數(shù)的討論

【問題】: 函數(shù)

的圖象與

軸只有一個交點，求實數(shù)m的取值范圍。

錯解：由

解得

  

剖析：知識殘缺，分類討論意識沒有，未考慮

的情況。

正確答案：

反思：在二次型函數(shù)

中，當(dāng)

時為二次函數(shù)，其圖象為拋物線；當(dāng)

時為一次函數(shù)，其圖象為直線。在處理此類問題時，應(yīng)密切注意

項的系數(shù)是否為0，若不能確定，應(yīng)分類討論，另外有關(guān)三個“二次”之間的關(guān)系的結(jié)論也是我們應(yīng)關(guān)注的對象。例如：

解集為

解集為

易錯點13 
用函數(shù)圖象解題時作圖不準(zhǔn)

【問題】: 求函數(shù)

的圖象與直線

的交點個數(shù)。

錯解：兩個 

剖析：忽視指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增減速度快慢對作圖的影響。

正確答案：三個

反思：“數(shù)形結(jié)合”是重要思想方法之一，以其準(zhǔn)確、快速、靈活及操作性強等諸多優(yōu)點頗受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的青睞。但我們在解題時應(yīng)充分利用函數(shù)性質(zhì)，畫準(zhǔn)圖形，不能主觀臆造，導(dǎo)致圖形“失真”，從而得出錯誤的答案。

易錯點14 
忽視轉(zhuǎn)化的等價性

【問題】1: 已知方程

有且只有一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍。

錯解：∵方程

有且只有一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，∴函數(shù)

的圖象與

軸在（0，1）內(nèi)有且只有一個交點，∴

，解得

 

剖析：知識殘缺，在將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)時，應(yīng)考慮到△=0情況。

正確答案：m<2且m=9/4

【問題】2:函數(shù)

的圖象大致是（     ）                                     

 

 

 

 

 

 

剖析：①在轉(zhuǎn)化過程中，去絕對值時出錯，從而得到錯誤的圖象。

②在圖象變換過程中出錯，搞錯平移方向。

正確答案：D

反思：等價轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，處理得當(dāng)會起到意想不到的效果，但等價轉(zhuǎn)化的前提是轉(zhuǎn)化的等價性，反之會出現(xiàn)各種離奇的錯誤。

易錯點15
分段函數(shù)問題

【問題】1:.已知

是R上的增函數(shù)，求a的取值范圍。

錯解：

 

剖析：知識殘缺，只考慮到各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為增函數(shù)，忽視

在分界點附近函數(shù)值大小關(guān)系。

正確答案：

【問題】2:設(shè)函數(shù)

，求關(guān)于x的方程

解的個數(shù)。

錯解：兩個

剖析：基礎(chǔ)不實，分類討論意識沒有，未能將方程

分兩種情況來解。

正確答案：三個

反思：與分段函數(shù)相關(guān)的問題有作圖、求值、求值域、解方程、解不等式、研究單調(diào)性及討論奇偶性等等。在解決此類問題時，要注意分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)，如果自變量取值不能確定，要對自變量取值進行分類討論，同時還要關(guān)注分界點附近函數(shù)值變化情況。

易錯點16  函數(shù)零點定理使用不當(dāng)    

【問題】若函數(shù)

在區(qū)間[-2,2]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且

在（-2,2）內(nèi)有一個零點，則f(-2)·f(2)的值  （ 
）

 A   大于0    B  小于0     C  等于0    D  不能確定

錯解：由函數(shù)零點存在定理知，f(-2)·f(2)<0，故選B

剖析：沒有正確理解函數(shù)零點的含義及存在性，若函數(shù)

在（-2,2）內(nèi)有一個零點，且該零點為“變號零點”，則f(-2)·f(2)<0，否則f(-2)·f(2)≥0.

正確答案：D

反思：函數(shù)零點定理是指如果函數(shù)

在區(qū)間

上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有

，那么函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)有零點。解決函數(shù)零點問題常用方法有定理法、圖象法和方程法。函數(shù)零點又分為“變號零點”和“不變號零點”，函數(shù)零點定理僅適用于“變號零點”，對“不變號零點”無能為力。

易錯點17  混淆兩類切線的概念

【問題】: 若直線y = kx與曲線

相切試求k的值。（提示y=kx即過原點的切線） 

錯解：

，∴斜率

，

剖析：知識殘缺，過某點的切線并非在某點處的切線。

正確答案：

反思：曲線在點P處的切線”P為切點且P在曲線上，而“過點P的切線”僅能說明點P在曲線的切線上。

易錯點18  誤解“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”的邏輯關(guān)系

【問題】:函數(shù)

在x=1處有極值10，求

的值。

錯解：由

解得

剖析：對“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”邏輯關(guān)系分辨不清，錯把

為極值的必要條件當(dāng)作充要條件。

正確答案：a=4,b=-11

反思：在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時，很容易出現(xiàn)的錯誤是求出使導(dǎo)函數(shù)等于0的點，而沒有對這些點左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號進行判斷，誤以為使導(dǎo)函數(shù)等于0的點就是函數(shù)的極值點。出現(xiàn)這種錯誤的原因就是對導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清。可導(dǎo)函數(shù)在一點處的導(dǎo)函數(shù)值為0只是這個函數(shù)在此點取到極值的必要條件，充要條件是

兩側(cè)異號。。

易錯點19  對“導(dǎo)數(shù)值符號”與“函數(shù)單調(diào)性”關(guān)系理解不透徹

【問題】:若函數(shù)

在

上為減函數(shù)，求實數(shù)

的取值范圍。

錯解：由

在

上恒成立，∴

 ，解得

 

剖析：概念模糊，錯把

在某個區(qū)間上是單調(diào)增（減）函數(shù)的充分條件當(dāng)成充要條件。事實上

時滿足題意。

正確答案：

反思：一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)增（減）的充要條件是這個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大（小）于等于0，且導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為0。切記導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上恒大（?。┯?/span>0僅為該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)增（減）的充分條件。

易錯點20  對“導(dǎo)函數(shù)值正負”與“原函數(shù)圖象升降”關(guān)系不清楚

【問題】: 已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則y = f(x)的圖象最有可能的是______.

 

 

 

 

 

錯解：選

 

剖析：概念不清，憑空亂猜，正確解法是由于

，且兩邊值符號相反，故0和2為極值點；又因為當(dāng)

時，

，當(dāng)

時，

，所以函數(shù)

在

上為增函數(shù)，在

上為減函數(shù)。

正確答案：C

反思：解答此類題的關(guān)鍵是抓住①導(dǎo)函數(shù)的零點與原函數(shù)的極值點關(guān)系——極值點的導(dǎo)數(shù)值為0；②導(dǎo)函數(shù)值的符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系——原函數(shù)看增減，導(dǎo)函數(shù)看正負。

易錯點21求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。

例

是R上的奇函數(shù)，（1）求a的值（2）求的反函數(shù)

剖析：求解已知函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯。

解析：（1）利用

（或

）求得a=1.

（2）由

即

，設(shè)

,則

由于

故

，

，而

所以

【練3】函數(shù)

的反函數(shù)是（   ）

A、

 
B、

C、

    
D、

 

答案：B

 

三、數(shù)列

易錯點22  由

求

時忽略對“

”檢驗

【問題】:已知數(shù)列｛

｝的前n 項和

，求

。

錯解：由

解得

  

剖析：考慮不全面，錯誤原因是忽略了

成立的條件n≥2，實際上當(dāng)n=1時就出現(xiàn)了S₀，而S₀是無意義的，所以使用

求

，只能表示第二項以后的各項，而第一項能否用這個

表示，尚需檢驗。

正確答案：

反思：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項

與其前n 項和

之間關(guān)系如下

，在使用這個關(guān)系式時，要牢牢記住其分段的特點。當(dāng)題中給出數(shù)列｛

｝的

與

關(guān)系時，先令

求出首項

，然后令

求出通項

，最后代入驗證。解答此類題常見錯誤為直接令

求出通項

，也不對

進行檢驗。

易錯點23  忽視兩個“中項”的區(qū)別

【問題】:

是

成等比數(shù)列的 （    ）

A  充分不必要條件  B  必要不充分條件  C  充要條件  D  既不充分有不必要條件

錯解： C   

剖析：思維不縝密，沒有注意到當(dāng)

 時，

可能為0。

正確答案：B

反思：若

成等比數(shù)列，則

為

和

的等比中項。由定義可知只有同號的兩數(shù)才有等比中項， “

”僅是“

為

和

的等比中項”的必要不充分條件，在解題時務(wù)必要注意此點。

 

【問題】已知數(shù)列

是等差數(shù)列，且

（1）求數(shù)列

的通項公式（2）令

求數(shù)列

前項和的公式。

剖析：本題根據(jù)條件確定數(shù)列

的通項公式再由數(shù)列

的通項公式分析可知數(shù)列

是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯項相減的方法求和。

解析：（1）易求得

（2）由（1）得

令

（Ⅰ）則

（Ⅱ）用（Ⅰ）減去（Ⅱ）（注意錯過一位再相減）得

當(dāng)

當(dāng)

時

綜上可得：

當(dāng)

當(dāng)

時

【練】已知

當(dāng)

時，求數(shù)列

的前n項和

答案：

時

當(dāng)

時

.

例、求

…

．

剖析：本題解答時一方面若不從通項入手分析各項的特點就很難找到解題突破口，其次在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。

解：由等差數(shù)列的前

項和公式得

，∴

，

取

，

，

，…，就分別得到

，…，∴

．

【練】求和

＋

＋

＋…＋

．

答案：

…

＝

易錯點26  等比數(shù)列求和時忽視對

討論

【問題】:在等比數(shù)列｛

｝中，

為其前n 項和，且

，求它的公比q。

錯解：

，解得

 

剖析：知識殘缺，直接用等比數(shù)列的求和公式，沒有對公比q是否等于1進行討論，導(dǎo)致失誤。

正確答案：

反思：與等差數(shù)列相比，等比數(shù)列有一些特殊性質(zhì)，如等比數(shù)列的每一項包括公比均不為0，等比數(shù)列的其前n項和

為分段函數(shù)，其中當(dāng)q=1時，

。而這一點正是我們解題中被忽略的。

易錯點27  用錯了等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式與性質(zhì)

【問題】:已知等差數(shù)列｛

｝的前m項和為30，前2m項和為100，求它的前3m項和

。

錯解一：170   

剖析：基礎(chǔ)不實，記錯性質(zhì)，誤以為

成等差數(shù)列。

錯解二：130   

剖析：基礎(chǔ)不實，誤以為

滿足

。

正確答案：210

反思：等差、等比數(shù)列各自有一些重要公式和性質(zhì)（略），這些公式和性質(zhì)是解題的根本，用錯了公式和性質(zhì)，自然就失去了方向。解決這類問題的一個基本出發(fā)點就是考慮問題要全面，把各種可能性都考慮進去，認(rèn)為正確的命題給予證明，認(rèn)為不正確的命題舉出反例予以說明。

易錯點28  用錯位相減法求和時項數(shù)處理不當(dāng)

【問題】:求和

。

剖析：①考慮不全面，未對

進行討論，丟掉

時的情形。   

②將兩個和式錯位相減后，成等比數(shù)列的項數(shù)弄錯。

③將兩個和式錯位相減后，丟掉最后一項。

正確答案：

反思：如果一個數(shù)列為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項積所得到的，那么該數(shù)列可用錯位相減法求和?；痉椒ㄊ窃O(shè)這個和式為S_n，在這個和式的兩端同時乘以等比數(shù)列的公比得到另一個和式，將這兩個和式錯位相減，得到一個新的和式，該式分三部分①原來數(shù)列的第一項；②一個等比數(shù)列的前n-1項和；③原來數(shù)列的第n項乘以公比的相反數(shù)。在用錯位相減法求和時務(wù)必要處理好這三個部分，特別是等比數(shù)列的項數(shù)，有時含原來數(shù)列的第一項共

項，有時只有

項。另外，如果公比為字母需分類討論。

【問題】等差數(shù)列

的首項

，前n項和

，當(dāng)

時，

。問n為何值時

最大?

剖析：等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域為正整數(shù)集這個限制條件。

解析：由題意知

=

此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因為

，當(dāng)

時，

故

即此二次函數(shù)開口向下，故由

得當(dāng)

時

取得最大值，但由于

，故若

為偶數(shù)，當(dāng)

時，

最大。

當(dāng)

為奇數(shù)時，當(dāng)

時

最大。

【練】 設(shè)

是等差數(shù)列，

是前n項和，且

，

，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A、

   B、

   C、

   D、

和

均為

的最大值。

答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n項和關(guān)于n的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）

【問題】已知關(guān)于的方程

和

的四個根組成首項為

的等差數(shù)列，求

的值。

剖析：注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項是如何排列的。

解析：不妨設(shè)

是方程

的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程

的另一根是此等差數(shù)列的第四項，而方程

的兩根是等差數(shù)列的中間兩項，根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為：

故

從而

=

。

【練14】已知方程

和

的四個根組成一個首項為

的等差數(shù)列，則

=（）  A、1  B、

 C、

  D、

答案：C

 

易錯點31  數(shù)列中的最值錯誤

【問題】:在等差數(shù)列｛

｝中，

，

，求此數(shù)列的前幾項和最大。

剖析：①解題不細心，在用等差數(shù)列前n和求解時，解得n=12.5，誤認(rèn)為n=12.5。

②考慮不全面，在用等差數(shù)列性質(zhì)求解得出

=0時，誤認(rèn)為只有

最大。

正確答案：

反思：數(shù)列的通項公式與前n項和公式都是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，要善于用函數(shù)的觀點認(rèn)識和理解數(shù)列問題。但是考生很容易忽視n為正整數(shù)的特點，有時即使考慮了n為正整數(shù)，但對于n為何值時，能夠取到最值求解出錯。在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸遠近而定。

四、三角函數(shù)

易錯點32  求解時忽略角的范圍

【問題】1: 在

中，

=

,

=

，求

，

的值。

錯解：cosA=±

，sinB=±

剖析：基礎(chǔ)不實，忽視開方時符號的選取。

正確答案：cosA=

，sinB=

【問題】2: 在

中，

為銳角，且

，求

的值。

錯解： 先求出sin(

)=

，∵

，∴

剖析：知識殘缺，由于

為銳角，所以

。又由于正弦函數(shù)在

上不是單調(diào)函數(shù)，所以本題不宜求sin(

)，宜改求cos(

)或tan(

)。

正確答案：

【問題】1: 在

中，已知a=

,b=

,B=

,求角A

錯解：用正弦定理求得

，∴

剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視隱含條件

出錯。

正確答案：

 

反思：三角函數(shù)中的平方關(guān)系是三角變換的核心，也是易錯點之一。解題時，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定未知角的范圍，并進行定號”。

易錯點33  求關(guān)于

最值時忽視正、余弦函數(shù)值域

【問題】:已知

，求

的最大值。

錯解：令

，得

，通過配方、作圖解得

的最大值為

剖析：本題雖注意到

的值域，但未考慮到

與

相互制約，即由于-1≤siny≤1，

∴

必須同時滿足

。

正確答案：

反思：求關(guān)于

最值的常規(guī)方法是通過令

（或cosx）將三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于

的二次函數(shù)問題求解。但由于正、余弦函數(shù)值域限制，

只能在某一特定范圍內(nèi)取值，解題時務(wù)必要注意此點。

易錯點34  三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯誤

【問題】:已知函數(shù)y=cos(

-2x)，求它的單調(diào)減區(qū)間。

錯解：

≤

-2x≤

剖析：概念混淆，錯因在于把復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與基本函數(shù)的單調(diào)性概念相混淆。應(yīng)化成y=cos(2x-

)求解      
正確答案：

反思：對于函數(shù)

來說，當(dāng)

時，由于內(nèi)層函數(shù)

是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)

的單調(diào)性與函數(shù)

的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)

的單調(diào)性來解決；但當(dāng)

時，內(nèi)層函數(shù)

是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)

的單調(diào)性與函數(shù)

的單調(diào)性正好相反，就不能按照函數(shù)

的單調(diào)性來解決。一般來說，應(yīng)根據(jù)誘導(dǎo)公式將

的系數(shù)化為正數(shù)加以解決，對于帶有絕對值的三角函數(shù)宜根據(jù)圖象從直觀上加以解決。

易錯點35  圖象變換的方向把握不準(zhǔn)

【問題】: 要得到函數(shù)

的圖象，只需將函數(shù)

的圖象（    ）

A向右平移

個單位    B向右平移

個單位  C向左平移360docimg_501_個單位   D向左平移360docimg_502_個單位

錯解一：C  

剖析：知識殘缺，未將函數(shù)化成同名函數(shù)。

錯解二：D  

剖析：基礎(chǔ)不牢，弄錯了平移方向。

正確答案：A

反思：圖像的平移變換，伸縮變換因先后順序不同平移的量不同，360docimg_503_平移的量為360docimg_504_，

360docimg_505_平移的量為360docimg_506_。

易錯點36沒有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象。

例、已知360docimg_507_，360docimg_508_求360docimg_509_的值。

剖析：本題可依據(jù)條件360docimg_510_，利用360docimg_511_可解得360docimg_512_的值，再通過解方程組的方法即可解得360docimg_513_、360docimg_514_的值。但在解題過程中易忽視360docimg_515_這個隱含條件來確定角360docimg_516_范圍，主觀認(rèn)為360docimg_517_的值可正可負從而造成增解。

解析：據(jù)已知360docimg_518_（1）有360docimg_519_，又由于360docimg_520_，故有360docimg_521_，從而360docimg_522_即360docimg_523_（2）聯(lián)立（1）（2）可得360docimg_524_，可得360docimg_525_。

【練】已知360docimg_530_，則360docimg_531_的值是       。

答案：360docimg_532_

 

易錯點37  由圖象求函數(shù)解析式忽略細節(jié)

【問題】：如圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)360docimg_533_.

(1)求這段時間的最大溫差.

(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式。

360docimg_534_

剖析：解此類題前兩步一般不會錯。但在求360docimg_535_時，多數(shù)學(xué)生由于點的位置取得不當(dāng)，致使求得的360docimg_536_值不好取舍。

正確答案：（1）360docimg_537_  （2）360docimg_538_

反思：由三角函數(shù)圖象求360docimg_539_（360docimg_540_）的解析式一般分三個步驟：①由函數(shù)的最大（?。┲登?/span>振幅360docimg_541_；②由函數(shù)的周期求360docimg_542_；③由曲線上的最高（最低）點求初相360docimg_543_的一般解，但360docimg_544_有范圍限制時一定要注意在指定的范圍內(nèi)求解。

 

 

例、如果函數(shù)360docimg_547_的圖象關(guān)于直線360docimg_548_對稱，那么a等于（    ）

A.360docimg_549_ B.－360docimg_550_ C.1  
D.－1

剖析：數(shù)360docimg_551_的對稱軸一定經(jīng)過圖象的波峰頂或波谷底，且與y軸平行，而對稱中心是圖象與x軸的交點，學(xué)生對函數(shù)的對稱性不理解誤認(rèn)為當(dāng)360docimg_552_時，y=0，導(dǎo)致解答出錯。

解析：（法一）函數(shù)的解析式可化為360docimg_553_，故360docimg_554_的最大值為360docimg_555_，依題意，直線360docimg_556_是函數(shù)的對稱軸，則它通過函數(shù)的最大值或最小值點即360docimg_557_

360docimg_558_，解得360docimg_559_.故選D

（法二）依題意函數(shù)為360docimg_560_,直線360docimg_561_是函數(shù)的對稱軸,故有360docimg_562_，即：360docimg_563_，而360docimg_564_

故360docimg_565_，從而360docimg_566_故選D.

（法三）若函數(shù)關(guān)于直線360docimg_567_是函數(shù)的對稱則必有360docimg_568_，代入即得360docimg_569_。

【練】（1）已知函數(shù)360docimg_572_上R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點360docimg_573_對稱，且在區(qū)間360docimg_574_上是單調(diào)函數(shù)，求360docimg_575_和ω的值.

答案：360docimg_576_或360docimg_577_。

（2設(shè)函數(shù)的360docimg_578_，360docimg_579_圖象的一條對稱軸是直線360docimg_580_，求360docimg_581_ 
答案：360docimg_582_=360docimg_583_

 

 

例、在360docimg_584_中，360docimg_585_。求360docimg_586_的面積

剖析：【易錯點分析】根據(jù)三角形面積公式，只需利用正弦定理確定三角形的內(nèi)角C，則相應(yīng)的三角形內(nèi)角A即可確定再利用360docimg_587_即可求得。但由于正弦函數(shù)在區(qū)間360docimg_588_內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)所以滿足條件的角可能不唯一，這時要借助已知條件加以檢驗，務(wù)必做到不漏解、不多解。

解析：根據(jù)正弦定理知：360docimg_589_即360docimg_590_得360docimg_591_，由于360docimg_592_即滿足條件的三角形有兩個故360docimg_593_或360docimg_594_.則360docimg_595_或360docimg_596_故相應(yīng)的三角形面積為360docimg_597_或360docimg_598_.

 

【練】如果滿足360docimg_603_，360docimg_604_，360docimg_605_的三角表恰有一個那么k的取值范圍是（   ）

A、360docimg_606_   B、360docimg_607_  
C、360docimg_608_  D、360docimg_609_或360docimg_610_

答案：D

 

五、平面向量

易錯點40 
概念模糊

【問題】：下列五個命題：

①      
向量360docimg_611_與360docimg_612_共線，則P₁、P₂、O、A必在同一條直線上；

②      
如果向量360docimg_613_與360docimg_614_平行，則360docimg_615_與360docimg_616_方向相同或相反；

③      
四邊形P₁P₂OA是平行四邊形的充要條件是360docimg_617_=360docimg_618_；

④      
若∣360docimg_619_∣=∣360docimg_620_∣，則360docimg_621_、360docimg_622_的長度相等且方向相同或相反；

⑤      
由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行。

其中正確的命題有______個。

錯解：選①錯，向量360docimg_623_與360docimg_624_共線，則直線P₁P₂與直線OA可能平行；選②錯，若360docimg_625_為零向量，則命題不正確；選③錯，360docimg_626_=360docimg_627_則四點P_1，P_2，O，A可能共線；選④錯，∣360docimg_628_∣=∣360docimg_629_∣，只能說明360docimg_630_、360docimg_631_的長度相等但確定不了方向；選⑤錯；零向量與任何向量平行。

正確答案：0

反思：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量、向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等。在復(fù)習(xí)時不僅要理解這些概念，而且還要掌握向量與實數(shù)、向量運算與實數(shù)運算異同點。

易錯點41 
忽視平面向量基本定理的成立條件

【問題】：下列各組向量中，可以作為基底的是

①360docimg_632_=（0，0），360docimg_633_=（1，-2）; ②360docimg_634_=（-1，2），360docimg_635_=（5，7）;

③360docimg_636_=（3，5），360docimg_637_=（6，10）; ④360docimg_638_=（2，-3），360docimg_639_=（4，-6）;

錯解：選①或③或④

正確答案：②

剖析：概念模糊，根據(jù)基底的定義，只有非零且不共線的向量才可以作為平面內(nèi)的基底。

反思：如果360docimg_640_、360docimg_641_是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量360docimg_642_，有且只有一對實數(shù)λ₁，λ₂，使360docimg_643_=λ₁360docimg_644_+λ₂360docimg_645_。在平面向量知識體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具。考生在學(xué)習(xí)這部分知識時，務(wù)必要注意這兩個定理的作用和成立條件。

 

 

例、ΔABC內(nèi)接于以O為圓心，1為半徑的圓，且3＋4＋5=。①求數(shù)量積，·，·，·；②求ΔABC的面積。

剖析：第1由題意可知3、4、5三向量的模，故根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律將一向量移項平方即可。第2問據(jù)題意可將已知三角形分割成三個小三角形利用正弦理解答。

解析：①∵||=||=||=1由3＋4＋5=得：3＋4=－5兩邊平方得：9²＋24·＋16²=25²∴·=0同理：由4＋5=－3求得·=－由3＋5=－4求得·=－

②由·=0,故360docimg_646_=||||=由·=－得cos∠BOC=－  ∴sin∠BOC=－∴360docimg_647_=||||sin∠BOC=，由·=－得cos∠COA=－∴sin∠COA=∴360docimg_648_=||||sin∠COA=即360docimg_649_=360docimg_650_＋360docimg_651_＋360docimg_652_=＋＋=

【知識點歸類點拔】本題考查了向量的模、向量的數(shù)量積的運算，用于表達三角形的內(nèi)角、面積。

【練40】（1）△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a,b,c，已知a,b,c成等比數(shù)列，且cosB＝360docimg_653_。（1）求cotA+cotC的值；（2）設(shè)360docimg_654_，求360docimg_655_的值。

答案：（1）360docimg_656_（3）360docimg_657_。

（2）已知向量360docimg_658_=（2，2），向量360docimg_659_與向量360docimg_660_的夾角為360docimg_661_，且360docimg_662_·360docimg_663_=－2，①求向量360docimg_664_；

②若360docimg_665_，其中A、C是△ABC的內(nèi)角，若三角形的三內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，試求|360docimg_666_+360docimg_667_|的取值范圍.答案：①360docimg_668_或360docimg_669_②360docimg_670_

 

例、已知橢圓C：360docimg_671_上動點360docimg_672_到定點360docimg_673_,其中360docimg_674_的距離360docimg_675_的最小值為1.（1）請確定M點的坐標(biāo)（2）試問是否存在經(jīng)過M點的直線360docimg_676_,使360docimg_677_與橢圓C的兩個交點A、B滿足條件360docimg_678_（O為原點）,若存在,求出360docimg_679_的方程,若不存在請說是理由。

剖析：此題解題關(guān)鍵是由條件360docimg_680_知360docimg_681_從而將條件轉(zhuǎn)化點的坐標(biāo)運算再結(jié)合韋達定理解答。

解析：設(shè)360docimg_682_，由360docimg_683_得360docimg_684_故360docimg_685_360docimg_686_由于360docimg_687_且360docimg_688_故當(dāng)360docimg_689_時，360docimg_690_的最小值為360docimg_691_此時360docimg_692_，當(dāng)360docimg_693_時，360docimg_694_取得最小值為360docimg_695_解得360docimg_696_不合題意舍去。綜上所知當(dāng)360docimg_697_是滿足題意此時M的坐標(biāo)為（1，0）。

（2）由題意知條件360docimg_698_等價于360docimg_699_，當(dāng)360docimg_700_的斜率不存在時，360docimg_701_與C的交點為360docimg_702_，此時360docimg_703_，設(shè)360docimg_704_的方程為360docimg_705_，代入橢圓方程整理得360docimg_706_，由于點M在橢圓內(nèi)部故360docimg_707_恒成立，由360docimg_708_知360docimg_709_即360docimg_710_，據(jù)韋達定理得360docimg_711_，360docimg_712_代入上式得360docimg_713_得360docimg_714_不合題意。綜上知這樣的直線不存在。

【練】已知橢圓的焦點在x軸上，中心在坐標(biāo)原點，以右焦點360docimg_715_為圓心，過另一焦點360docimg_716_的圓被右準(zhǔn)線截的兩段弧長之比2:1,360docimg_717_為此平面上一定點，且360docimg_718_.（1）求橢圓的方程（2）若直線360docimg_719_與橢圓交于如圖兩點A、B，令360docimg_720_。求函數(shù)360docimg_721_的值域答案：（1）360docimg_722_（2）360docimg_723_

 

 

 

 

 

易錯點44 
忽視“向量數(shù)量積運算”與“實數(shù)運算”區(qū)別

360docimg_724_【問題】：已知向量360docimg_725_的夾角為鈍角，求實數(shù)x的取值范圍為

錯解：360docimg_726_ 

剖析：概念模糊，錯誤地認(rèn)為360docimg_727_為鈍角360docimg_728_

正確答案：360docimg_729_

反思：360docimg_730_為鈍角360docimg_731_不共線360docimg_732_ 

六、不等式

易錯點45不等式性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)

【問題】：已知360docimg_733_，360docimg_734_<β<360docimg_735_，求函360docimg_736_的取值范圍。

錯解： ∵360docimg_737_，360docimg_738_<β<360docimg_739_，∴360docimg_740_，∴360docimg_741_360docimg_742_

剖析：套用錯誤，不等式具有同向相加性質(zhì)，但兩邊不能分別相減。

正確答案：360docimg_743_

反思：不等式基本性質(zhì)是不等式的基礎(chǔ)，有些性質(zhì)是條件不等式，在使用這些性質(zhì)解題時，務(wù)必要檢驗成立條件，不能想當(dāng)然套用，忽視了就會出錯。

易錯點36 
忽視等號同時成立的條件，擴大了范圍

【問題】：已知函數(shù)360docimg_744_，且360docimg_745_，求360docimg_746_的取值范圍。

錯解：先由360docimg_747_求出a，b的范圍，再用不等式性質(zhì)求出360docimg_748_的范圍為[5，10]。

剖析：知識殘缺，多次使用同向相加性質(zhì)，從而擴大了取值范圍。

正確答案：利用待定系數(shù)法或線性規(guī)劃求解，360docimg_749_的范圍為[5，10]。

反思：在多次運用不等式性質(zhì)時，其等號成立的條件可能有所不同，造成累積誤差，結(jié)果使變量范圍擴大。為了避免這類錯誤，必須注意①檢查每次使用性質(zhì)時等號成立的條件是否相同；②盡可能多的使用等式。

易錯點46 
去分母時沒有判斷分母的符號

【問題】：解不等式360docimg_750_

錯解：∵360docimg_751_， ∴360docimg_752_，解得360docimg_753_ 

剖析：基礎(chǔ)不實，沒有考慮分母360docimg_754_的符號，直接去分母，應(yīng)對360docimg_755_進行分類討論，或用數(shù)軸標(biāo)根法求解。

正確答案：360docimg_756_

反思：解分式不等式的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)a>b,c>0360docimg_757_a c >b c；a >b,c<0360docimg_758_a c <b c。解分式不等式基本思想是通過去分母將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，但在去分母之前必須對分母的符號進行判斷，必要時要對分母進行討論。

易錯點47 
解含參數(shù)不等式時分類討論不當(dāng)

【問題】：解關(guān)于x的不等式360docimg_759_

錯解一：原不等式等價于360docimg_760_，解得360docimg_761_

剖析：基礎(chǔ)不實，直接利用絕對值不等式的解集公式，而忽視對a-2進行分類討論。

錯解二：當(dāng)360docimg_762_時，原不等式不成立。

當(dāng)360docimg_763_時，原不等式等價于360docimg_764_，解得360docimg_765_

剖析：技能不熟，沒有對360docimg_766_進行討論。

正確答案：當(dāng)360docimg_767_時，不等式解集是360docimg_768_；當(dāng)360docimg_769_時，不等式解集是360docimg_770_

反思：含參數(shù)不等式的解法是不等式問題的難點。解此類不等式時一定要注意對字母分類討論，討論時要做到不重不漏，分類解決后，要對各個部分的結(jié)論按照參數(shù)由小到大進行整合。

易錯點48 
忽視均值不等式應(yīng)用條件

【問題】1：若x<0，求函數(shù)f(x) =360docimg_771_的最值。         

錯解:當(dāng)x＝360docimg_772_時，f(x)取得最小值2360docimg_773_

剖析：基礎(chǔ)不實，基本不等式360docimg_774_≥2360docimg_775_成立條件為360docimg_776_，本題中x<0，不能直接使用公式。

正確答案：最大值為360docimg_777_，無最小值。

【問題】：設(shè)360docimg_778_，求函數(shù)360docimg_779_的最小值。

錯解：360docimg_780_

剖析：知識殘缺，因為上述解法取等號條件是360docimg_781_，360docimg_782_，而這是不可能的。

正確答案：最小值為5

【問題】3：設(shè)360docimg_783_，且360docimg_784_，求函數(shù)f(x) =360docimg_785_的最小值。

錯解：∵360docimg_786_=360docimg_787_ (360docimg_788_)≥360docimg_789_＝4360docimg_790_，∴函數(shù)f(x)的最小值為4360docimg_791_。

剖析：技能不熟，上述解法似乎很巧妙，但兩次使用均值不等式時取等號的條件不一樣，因此取不到360docimg_792_。

正確答案：最小值為360docimg_793_

反思：均值不等式360docimg_794_≥2360docimg_795_（360docimg_796_）取等號的條件是“一正，二定，三相等”。

在解題過程中，務(wù)必要先檢驗取等號的三個條件是否成立。常規(guī)的解法是①如果積或和不是定值，設(shè)法構(gòu)造“定值”；② 若是360docimg_797_不能保證，可構(gòu)造“正數(shù)”或利用導(dǎo)數(shù)求解；③若是等號不能成立，可根據(jù)“對勾函數(shù)”圖象，利用單調(diào)性求解。

易錯點49
平面區(qū)域不明

【問題】：360docimg_798_表示的平面區(qū)域是（  ）

360docimg_799_

 

 

 

 

錯解一：選A  計算錯誤

錯解二：選B  思維不縝密

錯解三：選D  審題粗心，未注意到不含等號。

正確答案：C

反思：一條直線360docimg_800_把平面分成兩個半平面，在每個半平面內(nèi)的點（x，y）使360docimg_801_值的符號一致。鑒于此，作不等式對應(yīng)的平面區(qū)域方法是畫線定界，取點定域，若含等號畫實線，否則畫虛線。

易錯點49 
求目標(biāo)函數(shù)最值時忽視360docimg_802_的系數(shù)360docimg_803_的符號

【問題】：若變量360docimg_804_滿足約束條件360docimg_805_求目標(biāo)函數(shù)360docimg_806_的最大值。

錯解：先作可行域，在平移直線360docimg_807_得最優(yōu)解（-1，1）,所以360docimg_808_

剖析：識記錯誤，當(dāng)y的系數(shù)小于0時，使得直線360docimg_809_在y軸上截距最大的可行解，是目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解。

正確答案：3

反思：解線性規(guī)劃問題的基本方法是圖解法。當(dāng)B>0時，動直線360docimg_810_在y軸上的截距越大，目標(biāo)函數(shù)360docimg_811_值越大，截距越小，目標(biāo)函數(shù)值越??；反之，當(dāng)B<0時，動直線360docimg_812_在y軸上截距越大，目標(biāo)函數(shù)360docimg_813_值越小，截距越小，目標(biāo)函數(shù)值越大。其中360docimg_814_的系數(shù)360docimg_815_的符號是解題的關(guān)鍵，也是同學(xué)們經(jīng)常忽略的地方。

360docimg_816_七、立體幾何

易錯點50 
不會將三視圖還原為幾何體

【問題】：若某空間幾何體的三視圖如圖所示，

求該幾何體的體積。

錯解： 如圖該幾何體是底面為邊長360docimg_817_正方形，高為1

的棱柱，∴該幾何體的體積為360docimg_818_

剖析：識圖能力欠缺，由三視圖還原幾何體時出錯。

正確答案：V=1

反思：在由三視圖還原空間幾何體時，要根據(jù)三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為實線。在還原幾何體形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進行綜合考慮。

易錯點51 
對斜二測法規(guī)則掌握不牢

【問題】：已知360docimg_819_的平面直觀圖△360docimg_820_是邊長為360docimg_821_的正三角形，求360docimg_822_的面積。

剖析：①對用斜二測法畫平面圖形的直觀圖不熟悉；②不會將直觀圖還原成實際圖形；

③對一些等量關(guān)系不清楚。

正確答案：360docimg_823_

反思：由斜二測法畫直觀圖步驟如下：①建立坐標(biāo)系；②“位置規(guī)則”——與坐標(biāo)軸的平行的線段平行關(guān)系不變；③“長度規(guī)則”——圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度減為原來的一半。對此考生常見的錯誤有①不會建新坐標(biāo)系360docimg_824_，②不會用“倒過去”的方法還原幾何體，③“位置規(guī)則”和“長度規(guī)則”不清楚。

 

 

 

 

 

例、 如圖所示，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，已知AA₁＝A₁C₁＝a，E為BB₁的中點，若截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁．求截面A₁EC與底面A₁B₁C₁所成銳二面角度數(shù)．360docimg_825_

　解法1 ∵截面A₁EC∩側(cè)面AC₁＝A₁C．連結(jié)AC₁，在正三棱ABC－A₁B₁C₁中，

　　360docimg_826_

　　∵截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁，360docimg_827_

數(shù)就是所求二面角的度數(shù)．易得∠A₁AC₁＝45°，故所求二面角的度數(shù)是45°．

　解法2 如圖3所示，延長CE與C₁B₁交于點F，連結(jié)AF，則截面A₁EC∩面A₁B₁C＝AF．

360docimg_828_∵EB₁⊥面A₁B₁C₁，∴過B₁作B₁G⊥A₁F交A₁F于點G，

連接EG，由三垂線定理知∠EGB₁就是所求二面角的平面角．

　　360docimg_829_

　　即所求二面角的度數(shù)為45°．

【練】如圖，已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，側(cè)棱長為2，底面△ABC中，

 

360docimg_830_

∠B=90°，AB=1，BC=360docimg_831_，D是側(cè)棱CC₁上一點，且BD與底面所成角為30°.

（1）求點D到AB所在直線的距離.   （2）求二面角A₁－BD－B₁的度數(shù).

解析：①∵CC₁⊥面ABC， ∠B=90°，∴DB⊥AB，

 ∴DB的長是點D到AB所在直線的距離，

∠DBC是BD與底面所成的角，即∠DBC=30°，

∵BC=360docimg_832_，
∴BD=360docimg_833_=2
.

 ②過B₁作B₁E⊥BD于E，連A₁E，∵BB₁⊥AB，AB⊥BC，且BB₁∩BC=B，∴AB⊥平面BCC₁B₁，∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，∵B₁E⊥BD，∴A₁E⊥BD，即∠A₁EB₁是面A₁BD與面BDC₁B₁所成二面角的平面角.  連 B₁D . ∵BC=360docimg_834_，BD=2，∴CD=1 .∵CC₁=2，∴D為CC₁的中點 
∴S_△BDB1=360docimg_835_S_BCC1B1 
∴360docimg_836_B₁E·BD=360docimg_837_BC·CC₁ 即360docimg_838_ B₁E·2=360docimg_839_360docimg_840_·2∴B₁E=360docimg_841_在Rt△A₁B₁E中，

tan∠A₁EB₁=360docimg_842_

 

易錯點53
空間點、線、面位置關(guān)系不清

【問題】：給定下列四個命題：

①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；

②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；.  360docimg_843_  360docimg_844_       

④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.

其中為真命題的是

A．①和②     B．②和③       
C．③和④     D．②和④

錯解：A

剖析：①空間想象能力欠缺，不會借助身邊的幾何體作出判斷；

②空間線面關(guān)系模糊，定理不熟悉或定理用錯。

正確答案：D

反思：空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷是考查學(xué)生對空間點、線、面位置關(guān)系判斷和性質(zhì)掌握程度的重要題型。解決這類問題的基本思路有兩條：一是逐個尋找反例作出否定的判斷，逐個進行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置（如教室、課桌、燈管）作出判斷，但要注意定理應(yīng)用準(zhǔn)確，考慮問題全面細致。

易錯點54 
平行關(guān)系定理使用不當(dāng)

【問題】：正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M，N，Q分別是棱D₁C₁，A₁D₁，BC的中點，P在對角線BD₁上，且360docimg_845_，給出下列四個命題：（1）360docimg_846_；（2）C₁Q // 面APC；（3）A，P，M三點共線；（4）面MNP // 面APC.正確序號為（    ）

A、（1）（2）     B、（1）（4）    C、（2）（3）    D、（3）（4）

錯解：A、B、D

剖析：空間線面關(guān)系模糊，定理不熟悉，未能推出MN在平面APC內(nèi)而導(dǎo)致錯誤。

正確答案：C

反思：證明空間平行關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化和化歸，但要正確應(yīng)用定理并注意定理的應(yīng)用條件。如在證明直線a//平面α時，不能忽略直線a在平面α外。證明有關(guān)線線，線面，面面平行時使用定理應(yīng)注意找足條件，書寫規(guī)范，推理嚴(yán)謹(jǐn)。

易錯點55
　垂直關(guān)系定理使用不當(dāng)

360docimg_847_【問題】：已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N為AB上一點，AB= 4AN，M、S分別為PB、BC的中點。

①證明：CM⊥SN；

②求SN與平面CMN所成角的大小.

剖析：①在利用線面垂直的判定定理證明兩個平面互相垂直時，

只證明了該直線垂直于這個平面內(nèi)的兩條直線，沒有說明這兩

條直線是否相交，不符合定理的條件；②在求線面角時，沒有

說明找角的過程。

反思：證明空間垂直關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化和化歸。如在證明線線垂直時，可先把其中一條直線視為某平面內(nèi)的直線，然后再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明另一條直線垂直于這個平面，進而達到證明線線垂直的目的。

易錯點56
利用空間向量求線面角幾種常見錯誤

【問題】：如圖，已知兩個正方形ABCD 和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點 ,若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的余弦值。  

剖析：本題在求得平面DCEF的一個法向量360docimg_848_=（0，0，2）及

360docimg_849_360docimg_850_=(－1,1,2)后，可得cos<360docimg_851_,360docimg_852_> =360docimg_853_·

可能出現(xiàn)的錯誤為：360docimg_854_;360docimg_855_

正確答案：360docimg_856_

反思：若直線與平面所成的角為360docimg_857_，直線的方向向量為360docimg_858_，平面的法向量為360docimg_859_，則sin360docimg_860_=|cos<360docimg_861_,360docimg_862_>|。容易出錯的是①誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角就是線面角；②誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦就是線面角的正弦，而忘了加絕對值；③不清楚線面角的范圍。

易錯57 
二面角概念模糊

360docimg_863_【問題】：  如圖，四棱錐360docimg_864_中，底面360docimg_865_為矩形，360docimg_866_底面360docimg_867_，360docimg_868_，360docimg_869_，點360docimg_870_在側(cè)棱360docimg_871_上，360docimg_872_。       

①證明：360docimg_873_是側(cè)棱360docimg_874_的中點；

②求二面角360docimg_875_的余弦值。          
        

剖析：本題在求得平面360docimg_876_、360docimg_877_的法向量360docimg_878_=(360docimg_879_，1，1)，360docimg_880_=(360docimg_881_，0，2)后，然后計算出cos360docimg_882_=360docimg_883_；接著可能錯誤地以為二面角360docimg_884_余弦值為360docimg_885_，其實本題中的二面角是鈍角，360docimg_886_僅為其補角。

正確答案：360docimg_887_

反思：若兩個平面的法向量分別為360docimg_888_，360docimg_889_，若兩個平面所成的銳二面角為360docimg_890_，則360docimg_891_；若兩個平面所成二面角為鈍角，則360docimg_892_。總之，在解此類題時，應(yīng)先求出兩個平面的法向量及其夾角，然后視二面角的大小而定。

利用空間向量證明線面位置關(guān)系基本步驟為①建立空間坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)；②用向量表示相應(yīng)的直線；③進行向量運算；④將運算結(jié)果轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的位置關(guān)系。解此類問題常見錯誤有①不會將空間問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②不會建系，不會用向量表示直線，③計算錯誤，④使用定理出錯，⑤書寫不規(guī)范。

八、解析幾何

易錯點58 
傾斜角與斜率關(guān)系不明

【問題】：下列命題正確的為_______________。

①任何一條直線都有傾斜角，都有斜率；②直線的傾斜角越大，它的斜率就越大；

③平行于x軸的直線，傾斜角為0⁰或180⁰；

④平行于y軸的直線，斜率不存在，所以傾斜角不存在；

剖析：知識殘缺，概念模糊。

正確答案：無選項

反思：傾斜角和斜率分別從不同角度反映了直線的傾斜程度，但二者也有區(qū)別，任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率。解此類題常見錯誤有①弄錯直線傾斜角的范圍；②當(dāng)直線與x軸平行或重合時，誤認(rèn)為傾斜角為0⁰或180⁰；③不了解傾斜角與斜率關(guān)系。

易錯點58
判斷兩直線位置關(guān)系時忽視斜率不存在

【問題】：已知直線360docimg_893_₁: a x+2y+6=0和360docimg_894_₂: x+（a -1）y + a²-1=0，

①      
試判斷360docimg_895_₁與360docimg_896_₂是否平行；②當(dāng)360docimg_897_₁⊥360docimg_898_₂時，求a的值。

剖析：本題中的直線為一般式，宜用②中的等價關(guān)系求解，如果用①中的等價關(guān)系求解，一定要考慮斜率不存在的情況。

正確答案：（1）360docimg_899_ （2）360docimg_900_

反思：在解幾中，判斷平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系的方法有兩種：

①      
若直線360docimg_901_₁: 360docimg_902_，360docimg_903_₂: 360docimg_904_，則有

360docimg_905_₁與360docimg_906_₂相交360docimg_907_360docimg_908_； 360docimg_909_₁∥360docimg_910_₂360docimg_911_ 360docimg_912_，且b₁≠b₂； 360docimg_913_₁⊥360docimg_914_₂360docimg_915_ 360docimg_916_

②若直線360docimg_917_，360docimg_918_，則有360docimg_919_₁與360docimg_920_₂相交360docimg_921_360docimg_922_；

360docimg_923_₁∥360docimg_924_₂360docimg_925_360docimg_926_；360docimg_927_₁⊥360docimg_928_₂360docimg_929_360docimg_930_ 

兩種方法各有優(yōu)缺點，方法①簡便易行，但僅適用于斜率存在的直線，方法②適用于任意的直線，但運算量較大?？忌?jīng)常出錯的是：用方法①但忽視對斜率的討論。

易錯點59
平行線間的距離公式使用不當(dāng)

【問題】：求兩條平行線360docimg_931_₁: 360docimg_932_和360docimg_933_₂: 360docimg_934_間的距離。

錯解：360docimg_935_

∴直線360docimg_936_₁與360docimg_937_₂的距離為2或1

剖析：技能不熟，求兩條平行線間的距離時，沒有把x、y的系數(shù)化成相同。

正確答案：360docimg_938_

反思：兩條平行線之間的距離是指其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離。若直線360docimg_939_₁: A x+By+C₁=0和360docimg_940_₂: A x+By+C₂=0(C₁≠C₂)，則直線360docimg_941_₁與360docimg_942_₂的距離為360docimg_943_。常見的錯誤是忽視判斷兩直線中x、y系數(shù)是否相等。

易錯點60 
誤解“截距”和“距離”的關(guān)系

【問題】：若直線360docimg_944_與拋物線（y－1）²＝x －1在x軸上的截距相等，求a的值。

錯解：直線360docimg_945_在x軸上的截距為360docimg_946_，拋物線（y－1）²＝x －1在x軸上的截距為2，∴360docimg_947_,解得a=±1  

剖析：概念模糊，錯把截距當(dāng)成距離。

正確答案：a=－1

反思：截距是指曲線與坐標(biāo)軸交點的橫（縱）坐標(biāo)，它是一個實數(shù)，可為正數(shù)、負數(shù)、零，而距離一定是非負數(shù)，對此考生應(yīng)高度重視。

易錯點61
忽視直線點斜式和斜截式方程適用范圍

【問題】：求過點（2，1）和（a，2）的直線方程。

錯解：先求出斜率360docimg_948_，故所求直線方程為y－1=360docimg_949_（x－2）

剖析：知識殘缺，未考慮k不存在的情況。

正確答案：當(dāng)a=2時，直線方程為x=2,當(dāng)360docimg_950_時，直線方程為y－1=360docimg_951_（x－2）

反思：點斜式360docimg_952_和斜截式360docimg_953_是兩種常見的直線方程形式，應(yīng)用非常廣泛，但它們僅適用于斜率存在的直線。解題時一定要驗證斜率360docimg_954_是否存在，若情況不明，一定要對斜率360docimg_955_分類討論。

易錯點62
忽視直線截距式方程適用范圍

【問題】：直線360docimg_956_經(jīng)過點P（2，3），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線360docimg_957_方程。

錯解：設(shè)直線360docimg_958_方程為360docimg_959_（a≠0），將點P代入得a=5，∴360docimg_960_的方程為x+y-5=0

剖析：知識殘缺，不了解截距式方程適用范圍，漏掉直線過原點的情況。

正確答案：x+y-5=0或3x-2y=0

反思：直線的截距式方程為360docimg_961_( ab≠0)， a為直線在x軸上的截距，b為直線在y軸上的截距。其適用范圍為①不經(jīng)過原點，②不與坐標(biāo)軸垂直。

易錯點63 
忽視圓的一般式方程成立條件

【問題】：已知圓的方程為360docimg_962_，過360docimg_963_作圓的切線有兩條，求a的取值范圍。

錯解：∵過360docimg_964_作圓的切線有兩條，∴點A在圓外，∴360docimg_965_, ∴ 360docimg_966_

剖析：技能不熟，忽視圓的一般式方程的充要條件。

正確答案：360docimg_967_

反思：在關(guān)于x、y的二元二次方程360docimg_968_中，當(dāng)360docimg_969_，表示一個圓；當(dāng)360docimg_970_時，表示一個點；當(dāng)360docimg_971_時，不表示任何圖形。360docimg_972_僅僅是曲線為圓的一個必要不充分條件，在判斷曲線360docimg_973_類型時，判斷360docimg_974_的符號至關(guān)重要，這也是考生易錯點之一。

易錯點64 
忽視圓錐曲線定義中的限制條件

【問題】1：已知定點360docimg_975_，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是

A 360docimg_976_   B 360docimg_977_  C 360docimg_978_  D 360docimg_979_

錯解：360docimg_980_或360docimg_981_

剖析：概念模糊，由于|F₁F₂|=6，所以A選項無軌跡，B選項的軌跡為線段360docimg_982_。

正確答案：C

【問題】2：說出方程360docimg_983_表示的曲線。

錯解：雙曲線

剖析：知識不全，360docimg_984_表示動點360docimg_985_到定點360docimg_986_的距離只差為8，且|PF₁|>|PF₂|，∴軌跡為以為焦點360docimg_987_的雙曲線的左支。

正確答案：軌跡為以為焦點360docimg_988_的雙曲線的左支

反思：在橢圓的定義中，對常數(shù)加了一個條件，即常數(shù)大于360docimg_989_。這種規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況——軌跡為一條線段或無軌跡。在雙曲線的定義中，不僅對常數(shù)加了限制條件，同時要求距離差加了絕對值，其實如果不加絕對值其軌跡只表示雙曲線的一支，對此考生經(jīng)常出錯。

易錯點65 
求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時忽視“定位”分析

【問題】：若橢圓360docimg_990_的離心率360docimg_991_，求360docimg_992_的值是。

錯解：a²＝5，b²＝360docimg_993_,∴c²＝5-360docimg_994_, 又360docimg_995_，∴360docimg_996_=3

剖析：技能不熟，沒有考慮到焦點在y軸上的情形。

正確答案：360docimg_997_=3或360docimg_998_

反思：確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定位”與“定量”兩個方面，“定位”是指確定橢圓與坐標(biāo)系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點在哪個坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式，若情況不明，應(yīng)對參數(shù)進行討論，“定量”則是指確定a²、b²的值，常用待定系數(shù)法求解。

易錯點66 
利用雙曲線定義出錯

【問題】：雙曲線360docimg_999_上一點P到焦點360docimg_1000_的距離為6，則P到另一焦點360docimg_1001_的距離為_______。

錯解：由雙曲線的定義360docimg_1002_，所以360docimg_1003_

剖析：定義模糊，沒有考慮到P是在雙曲線的哪一支上，P應(yīng)在雙曲線左支上。

正確答案：10

反思：利用雙曲線定義要考慮雙曲線的兩支，若P為雙曲線左支上的點,則360docimg_1004_的最小值為c-a,

若P為雙曲線右支上的點,則360docimg_1005_的最小值為c+a。

易錯點67 
求與拋物線有關(guān)的最值問題是忽視定點位置

【問題】：已知定點360docimg_1006_，360docimg_1007_為拋物線360docimg_1008_的焦點，360docimg_1009_為拋物線上動點，求360docimg_1010_ 的最小值。

錯解：∵360docimg_1011_為拋物線上動點,∴360docimg_1012_=360docimg_1013_到準(zhǔn)線距離，∴360docimg_1014_的最小值為360docimg_1015_

剖析：審題出錯，誤認(rèn)為點A在拋物線的內(nèi)部，得到|PA|+|PF|的最小值就是A到準(zhǔn)線的距離。實際上點360docimg_1016_在拋物線的外部，∴360docimg_1017_的最小值為360docimg_1018_.

正確答案：360docimg_1019_

反思：求與拋物線有關(guān)的最值問題常見題型及方法：

①       具備定義背景，可用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題來處理；

②       不具備定義背景，可由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用求函數(shù)最值的方法來處理。

在這兩類題型中，定點的位置尤為重要，處理不當(dāng)就會出錯。

易錯點68 
用“點差法”解決中點弦問題時忽視直線與曲線相交

【問題】：已知雙曲線360docimg_1020_，問過A（1，1）能否作直線360docimg_1021_交雙曲線于360docimg_1022_兩點，且A為線段360docimg_1023_中點，若存在，求出直線 360docimg_1024_ 的方程；若不存在，說明理由。

錯解：用“點差法”求出斜率k=2，故 360docimg_1025_ 的方程為  y=2x-1

剖析：知識殘缺，用“點差法”求解時，忽視了代入驗證，其實此時360docimg_1026_，直線與雙曲線不相交。

正確答案：不存在

反思：用“點差法”解決雙曲線中點弦問題步驟為①設(shè)弦兩端點360docimg_1027_，代入曲線方程，②將兩方程求差，并用中點公式求出弦所在直線的斜率360docimg_1028_，③寫出弦的方程并代入驗證，其中代入驗證不可少。一般來說，以橢圓內(nèi)任意一點為中點的弦一定存在；以雙曲線和其漸近線所夾區(qū)域內(nèi)的點為中點的弦一定不存在。

易錯點69 
解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系是易錯的幾個問題

【問題】：求過定點P（0，1）且與拋物線360docimg_1029_只有一個公共點的直線360docimg_1030_的方程。

錯解：設(shè)直線360docimg_1031_的方程為360docimg_1032_，消360docimg_1033_得360docimg_1034_，令△＝0，求出360docimg_1035_，∴直線360docimg_1036_ 的方程為y=360docimg_1037_x+1

剖析：知識殘缺，遺漏直線斜率不存在的情況及消元后的方程360docimg_1038_可能為一次方程的情況。

正確答案：360docimg_1039_

反思：解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系時，常規(guī)的方法是設(shè)出直線方程，然后與圓錐曲線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為方程的根與系數(shù)間的關(guān)系問題求解，因此應(yīng)注意以下幾個問題①所設(shè)直線的斜率是否存在，②消元后的方程是否為一元二次方程，③一元二次方程是否有實根。

 

 

 

 

【問題】過點（0，3）作直線l，如果它與雙曲線360docimg_1040_只有一個公共點，則直線l的條數(shù)是（   ）

A、1  B、2    C、3   D、4

剖析：在探討直線與雙曲線的位置關(guān)系時，可以考慮直線方程與雙曲線方程的解的情況，但容易忽視直線與漸進線平行的特殊情況，這時構(gòu)成的方程是一次的。

解析：用數(shù)形結(jié)合的方法：過點（0，3）與雙曲線只有一個公共點的直線分兩類。一類是平行于漸進線的，有兩條；一類是與雙曲線相切的有兩條。如圖所示：                                 

 

                                   

                                    
360docimg_1041_

 

 

 

 

 

 

故選（D）

 

【練】如圖已知雙曲線的中心在原點，

右頂點為A（1，0）P、Q在雙曲線的右支上，點M（m，0）到

直線AP的距離為1。

（1）若直線AP的斜率為1，且360docimg_1048_，求實數(shù)m的取值范圍。

解析：（1）如圖，由條件得直線AP的方程為360docimg_1049_，即360docimg_1050_

360docimg_1051_  點M到直線AP的距離為1。360docimg_1052_，360docimg_1053_即360docimg_1054_

360docimg_1055_360docimg_1056_解得360docimg_1057_360docimg_1058_m的取值范圍是360docimg_1059_

                                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

九、概率與統(tǒng)計

易錯點71
互斥事件與對立事件關(guān)系模糊

【問題】：某城市有兩種報紙甲報與乙報供居民們訂閱。記A=“只訂甲報”，B=“至少訂一種報”，C=“至多訂一種報”，D=“不訂甲報”，E=“一種報也不訂”。判斷下列事件是不是互斥事件？如果是互斥事件，再判斷是不是對立事件。

①A與C；②B與E；③B與D；④B與C；⑤E與C

錯解：選①或③或④或⑤

剖析：識記錯誤，兩類事件的概念不清。

正確答案：②是互斥事件，是對立事件

反思：“互斥事件”和“對立事件”都是就兩個事件而言的，互斥事件是指事件A與事件B在一次實驗中不會同時發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B在一次實驗中有且只有一個發(fā)生，因此，對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件。

易錯點72 
使用概率加法公式?jīng)]有注意成立條件

【問題】：投擲一枚均勻的骰子，事件A=“朝上一面的點數(shù)為奇數(shù)”，B=“朝上一面的點數(shù)不超過3”，求360docimg_1060_。

錯解： 360docimg_1061_，P(B)= 360docimg_1062_，∴360docimg_1063_= 360docimg_1064_+360docimg_1065_=1

剖析：概念模糊，未驗證公式成立條件。

正確答案：360docimg_1066_

反思：概率加法公式是指當(dāng)事件A、B為互斥事件時，則有360docimg_1067_，否則只能使用一般的概率加法公式P(A+B)＝P(A)+P(B)- P(A∩B)。解此類題關(guān)鍵是要分清已知事件是由哪些互斥事件組成的，然后代公式P(A+B)＝P(A)+P(B)求解，若已知事件不能分解為幾個互斥事件的和，則只能代一般的概率加法公式。

易錯點73
運用古典概型概率公式解題時計數(shù)出錯

【問題】：一個口袋中有大小相同的360docimg_1068_個黑球和360docimg_1069_個白球，從中不放回地依次摸出2個，求其中含有黑球的概率。

錯解：“含有黑球”的對立事件是“全為白球”， ∴360docimg_1070_

剖析：計數(shù)出錯，計算基本事件總數(shù)時考慮“順序”，而求事件A包含的基本事件數(shù)個數(shù)時沒考慮“順序”。

正確答案：360docimg_1071_

反思：運用古典概型的概率公式解題時，需確定全部基本事件的個數(shù)，及所求事件A包含的基本事件數(shù)，然后代公式為360docimg_1072_。為此，計數(shù)是解題的關(guān)鍵，求解時①要分清是“分類”還是“分步”，分類時要不重不漏，分步時要注意連續(xù)性；②要分清“有序”還是“無序”， 有序用排列，無序用組合；③ 要分清“放回”還是“不放回”。

易錯點74 
將其它問題轉(zhuǎn)化為幾何概型時出錯

360docimg_1073_【問題】：在等腰直角三角形ABC中，直角頂點為C，在∠ACB的內(nèi)部任作一條射線CM，交線段AB于M，求“360docimg_1074_”的概率。

錯解：∵△ABC等腰直角三角形，∠C為直角，

∴AB=360docimg_1075_AC，∴ 360docimg_1076_

剖析：知識殘缺，雖然射線在∠ACB的內(nèi)部的分布是等可能的，

但是點360docimg_1077_在線段360docimg_1078_上的分布不是等可能的。

正確答案：360docimg_1079_

反思：幾何概型具有兩大特點：一是試驗的可能的結(jié)果為無限個；二是試驗的結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布。解題的關(guān)鍵是判斷試驗的結(jié)果在哪個區(qū)域內(nèi)是均勻的。

易錯點75 
使用直方圖解題時錯把縱坐標(biāo)當(dāng)成頻率

【問題】：某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測，右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106]，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是(    ).

A.108  
B.90   C.  75    D45

錯解：產(chǎn)品凈重小于100克的概率為0.050+0.100=0.15,
已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，設(shè)樣本容量為360docimg_1080_，所以n=240，凈重大于360docimg_1081_

或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的概率為

0.100+0.150+0.125+0.75=0.45,所以樣本中凈

重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的

個數(shù)是240×0.45=108，故選A.

剖析：不會看圖，直方圖的縱坐標(biāo)不是頻率,

矩形的面積才是頻率。

正確答案：108

反思：統(tǒng)計學(xué)的基本思想之一是用樣本的頻率分布估計總體的概率分布，其中最常用來表示頻率分布圖形是直方圖。解與直方圖有關(guān)的識圖題時，一定要看清圖中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示什么，單位是什么，唯有這樣才能正確求解。

易錯點76 
對樣本數(shù)字特征認(rèn)識不到位

【問題】：下列判斷正確的是（   
）

A 樣本平均數(shù)一定小于總體平均數(shù)     B 樣本平均數(shù)一定大于總體平均數(shù)

C 樣本平均數(shù)一定等于總體平均數(shù)     D 樣本容量越大，樣本平均數(shù)越接近總體平均數(shù)

錯解： 選360docimg_1082_   

剖析：概念不清，樣本平均數(shù)僅僅用來估計總體平均數(shù)，沒有必然的大小關(guān)系。

正確答案：D

反思：統(tǒng)計學(xué)的另一基本思想是通過科學(xué)合理地獲取樣本，再通過對樣本數(shù)據(jù)的處理，用樣本數(shù)字特征去估計總體的相應(yīng)數(shù)字特征。對此我們要有一個辯證的理解，即有時會出現(xiàn)偏差，而解決這一問題的方法是適度增加樣本容量，當(dāng)樣本容量越大，它對總體接近程度越大，可信度越高。

易錯點77
在求離散型隨機變量分布列時忽視所有事件概率和為1

【問題】：某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有四次參加考試的機會，一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第四次為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9。求在一年內(nèi)李明參加駕照考試的次數(shù)X的分布列。

錯解：隨機變量360docimg_1083_可取1，2，3，4

360docimg_1084_360docimg_1085_，360docimg_1086_，360docimg_1087_，

360docimg_1088_

∴李明參加駕照考試的次數(shù)X的分布列為

 
 
 
 
 


 
 
 
 
 

360docimg_1089_	1	2	3	4
p	0.6	0.28	0.096	0.0216

剖析：知識殘缺，對事件“X=4” 不理解，“X=4”表示李明前3次均沒通過，而第四次可能通過也有可能不通過，∴360docimg_1090_或利用性質(zhì)求解360docimg_1091_。

正確答案：

 
 
 
 
 


 
 
 
 
 

360docimg_1092_	1	2	3	4
p	0.6	0.28	0.096	0.024

反思：解答此類題常見的錯誤為①事件的概率不會求；②所求的事件概率不滿足360docimg_1093_。對于②我們通常先求出一些簡單事件的概率，如果某事件的概率不好求，在確保其它事件的概率正確的前提下，可用性質(zhì)360docimg_1094_求解。

十、其它

易錯點78 
對循環(huán)結(jié)構(gòu)中控制條件理解存在偏差

【問題】1：設(shè)計一個程序框圖求360docimg_1095_的值。

360docimg_1096_錯解：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

剖析：概念不清，用圖不準(zhǔn)，第一處錯誤在于第二個框應(yīng)是S=1而不是S=0；第二處錯誤在于判斷框應(yīng)是360docimg_1097_而不是360docimg_1098_。

【問題】2：說出下面算法的程序功能，并改寫為UNTIL語句。

s=1

n=2

i=1

WHILE  i＜=63

        
s=s+n∧i

        
i=i+1

WEND

PRINT  s

    END

錯解：該程序功能為計算360docimg_1099_，對應(yīng)UNTIL語句為：

s=1

n=2

i=1

DO

  s=s+n∧i

  i=i+1

LOOP  
UNTIL  i >=63

PRINT  s

    END

剖析：概念模糊，對兩種循環(huán)的特點分辨不清，關(guān)系理解不透。事實上UNTIL語句后i >=63應(yīng)改為i >63。

 

反思：循環(huán)結(jié)構(gòu)中一般有兩個變量­——累加（乘）變量和計數(shù)變量，累加（乘）變量是為了實現(xiàn)算法功能，計數(shù)變量是用來記錄循環(huán)次數(shù)。解此類題關(guān)鍵是把握好兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)特點及其它們的區(qū)別，設(shè)定好兩種變量的初始值，根據(jù)循環(huán)次數(shù)確定好控制變量所滿足的條件，必要時通過記錄循環(huán)過程加以檢驗。

易錯點79 忽視數(shù)學(xué)歸納法中的歸納假設(shè)

【問題】：用數(shù)學(xué)歸納法證明：360docimg_1100_

錯解：⑴當(dāng)n=1時，命題顯然成立；

⑵假設(shè)360docimg_1101_時命題成立，即360docimg_1102_，

那么當(dāng)360docimg_1103_時，360docimg_1104_

 ∴360docimg_1105_時命題也成立

由⑴、⑵可知，對于360docimg_1106_命題成立。

剖析：知識殘缺，在推證360docimg_1107_時命題也成立時，沒有用到歸納假設(shè)。

反思：數(shù)學(xué)歸納法僅適用于證明與自然數(shù)360docimg_1108_有關(guān)的命題命題，其步驟如下：

⑴當(dāng)360docimg_1109_（n₀∈N₊）時，驗證命題成立；

⑵假設(shè)n=k（k≥n₀ ，k∈N₊）時命題成立，推證360docimg_1110_時命題也成立；

由⑴、⑵，當(dāng)360docimg_1111_時命題成立。

在上述過程中，第一步是歸納奠基，第二步是歸納遞推，二者缺一不可。對此，考生常犯的錯誤是①忽視驗證360docimg_1112_是命題真假情況；②在證明360docimg_1113_命題成立時，沒有用到歸納假設(shè)。

 

易錯點80  忽視參數(shù)范圍

【問題】曲線360docimg_1114_與曲線360docimg_1115_的交點是：

錯解：（1，2）或360docimg_1116_

正解：（1，2）。要注意t>0這個限制。

 

360docimg_1117_